dos funciones simétricas, cuando tienen una única solución

Question

Mi pregunta:

Qué $y$ es la ecuación de $\log_{y}{x}=y^x$, existe una única solución.

Algunas ideas mías:

Lo que noté fue casi cualquier $a$, ambas funciones $\log_{y}{x}$ y son simétricos con respecto a los $y^x$ $y=x$. No está seguro cómo relacionados con esto es aunque. Pero sospecho que puede ayudar de alguna manera u otra.

Answer 1

Podemos inferir que desde $\log_y x$ $y^x$ son simétricas con respecto a $y=x$, entonces si dos funciones tienen una única solución, entonces uno de los dos tiene que ser tangente a $y=x$. Por lo tanto, estamos buscando el máximo de $y$ tal que $y^x=y$ tiene al menos una solución. Para un gran $y$, las dos curvas nunca se intersecan. Ahora lo que esto significa es que la buscamos esencialmente el máximo valor de $y$ s.t. $y^{x}=x$.

Aquí es cómo se debe proceder:

$$y^{x}=x \\ y=x^{\frac{1}{x}} \\y=e^{\frac{1}{x}\ln(x)} \\ \frac{dy}{dx}=e^{\frac{1}{x}\ln(x)}\left(\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}+\frac{-1}{x^{2}} \cdot \ln(x)\right)$$

Ahora, con el fin de encontrar el valor máximo, necesitamos

$$\frac{dy}{dx}=0 \implies \ln(x)=1\implies x=e$$

Por lo tanto, $\displaystyle y=e^{\frac{1}{e}}$