Estoy trabajando en un problema en el que tengo un ( $n \times n $ ) de la matriz A y un valor propio de A, $\lambda$ , donde $\lambda$ tiene multiplicidad geométrica 1. Los vectores propios derecho e izquierdo de A correspondientes a $\lambda$ son positivos en sus componentes. ¿Cómo puedo demostrar que no hay otros eigenvectores no negativos en sus componentes, a excepción de los múltiplos escalares de éstos?
Respuestas
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Comience por observar que vectores propios correspondientes a diferentes valores propios El vector propio izquierdo correspondiente a un valor propio es ortogonal al vector propio derecho correspondiente a un valor propio diferente debe ser ortogonal.
Dejemos que $u_{\lambda}$ denotan el vector propio derecho, es decir $A u_{\lambda} = \lambda u_{\lambda}$ y $v_{\lambda}$ denotan el vector propio izquierdo, es decir $v_{\lambda} A = \lambda v_{\lambda}$ .
Dejemos que $\mu \not= \lambda$ sea un valor propio de $A$ entonces $A u_\mu = \mu u_\mu$ y $v_{\mu} A = \mu v_{\mu}$ . Ahora $$\lambda v_\lambda u_\mu = v_{\lambda} A u_\mu = \mu v_\lambda u_\mu$$ por lo que $(\lambda - \mu) v_\lambda u_\mu = 0$ Por lo tanto $v_\lambda u_\mu = 0$ porque $\mu \not= \lambda$ . Del mismo modo, $u_\lambda v_\mu = 0$ .
Porque $u_\lambda$ y $v_\lambda$ son positivos en cuanto a componentes, la única manera de que el producto punto sea cero si $v_\mu$ y $u_\mu$ tienen componentes negativos, ya que no son idénticos a cero como vectores propios.
Matthew Scouten
Puntos
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Si $w^T$ es un vector propio izquierdo y $v$ un vector propio derecho de la matriz $A$ para los valores propios $\lambda$ y $\mu$ respectivamente, entonces $\lambda w^T v = w^T A v = \mu w^T v$ . Así que si $\lambda \ne \mu$ debemos tener $w^T v = 0$ . Pero si todos $w_i > 0$ y $v_i \ge 0$ La única manera de que eso ocurra es si $v = 0$ (lo que no está permitido para un vector propio).
