Prueba de apertura de grupos (pregunta sencilla)

Question

Estoy teniendo problemas para demostrar que un subconjunto determinado es abierto. Digamos que me pide para probar que el siguiente conjunto es abierto. $$A =\{(x,y) : -1 < x < 1, -1 < y < 1\}$ $ deje $(x_0,y_0) \in A$, entonces el $ |x_0| < 1\;and\; |y_0| < 1$. Luego defino %#% $ #%

Ahora necesito mostrar que $$ r = min\{1-|x_0|,1-|y_0|\}$

Así que dejo $D_r(x_0,y_0)\subset A$ y entonces la distancia entre dos puntos es: $(x,y) \in D_r(x_0,y_0)$ $ ahora estoy atrapado. ¿Qué exactamente debe mostrar? ¿Puedo decir que esta distancia es menor que $$\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}$? ¿Cómo puedo controlar el hecho de que $r$ puede ser uno de dos valores? ¿Cuál es el enfoque general para este tipo de problemas?

Answer 1

Así que lo que tienes que hacer es mostrar que $D_r(x_0, y_0) \subseteq A$. En otras palabras, si $(x, y) \in D_r(x_0, y_0)$, entonces el $(x, y) \in A$. En otras palabras, si ambos

$$((x - x_0)^2 + (y-y_0)^2)^{1/2} \lt 1 - |x_0|$$

y

$$((x - x_0)^2 + (y-y_0)^2)^{1/2} \lt 1 - |y_0|$$

entonces $|x| \lt 1$ y $|y| \lt 1$.

Answer 2

Elige $(x,y)$$D_r(x_0, y_0)$, que es (supongo que por definición) el disco de radio $r$ alrededor de ese punto, así que sí, la distancia a ese punto, es sin duda menos de $r$.

La idea es demostrar que $(x,y) \in A$, por lo que se puede concluir que cada punto de $D_r(x_0, y_0)$ $A$ y, por tanto,$D_r(x_0, y_0) \subset A$. Tomando nota de que $(x_0, y_0)$ fue arbitraria, a la conclusión de que cada punto en el conjunto de un disco alrededor de él todavía dentro del conjunto que es el criterio de la apertura.

Cómo lidiar con el hecho de que $r$ puede ser el valor de una de las dos expresiones: bueno, he aquí una buena manera de caracterizar $\min\{x,y\}$ cualquier $x$$y$: \begin{align} z < \min\{x,y\} &\iff z < x \text{ and } z < y\\ min\{x,y\} < z &\iff x < z \text{ or } y < z \end{align} Estos hechos son bastante obvia si se piensa en ello, pero es fácil olvidarse de lo útiles que son. Si quieres probar una desigualdad como los de la izquierda, acaba de demostrar una desigualdad o dos de la derecha.

Answer 3

$A$ es un cuadrado sólido con el límite de corte. Es un conjunto abierto si podemos elegir cualquier punto de $(x_0, y_0)\in A$ y dibujar un poco pequeña bola alrededor de ese punto en el que está contenida dentro de $A.$ Esto es claramente cierto intuitivamente, vamos a la guía de imagen de su prueba. Se tenía la idea correcta cuando se llevó a $r= \min \{1-|x_0|, 1-|y_0|\}$ porque (como una imagen indica) este es, precisamente, el radio de tomar para asegurar la bola de radio $r$ $(x_0, y_0)$ se queda dentro de $A.$

Usted ahora tiene que mostrar su intuición es verdadera: Que cualquier punto dentro de esta bola está dentro de $A.$ Si usted tiene un punto de $(a,b)$ dentro de la bola, entonces, por definición,, $$\sqrt{ (x_0-a)^2+ (y_0-b)^2 } < r = \min \{1-|x_0|, 1-|y_0|\}.$$ If $( a,b)$ wasn't inside $$ then at least one of $$ or $b$ would have absolute value greater than or equal to $1.$ Suppose $un$ has absolute value $\geq 1.$ Then $$\sqrt{ (x_0-a)^2+ (y_0-b)^2 } \geq |a-x_0| \geq |a|-|x_0|> 1-|x_0| \geq r= \min \{1-|x_0|, 1-|y_0|\}$$ which contradicts the previous equation. Hence $(a,b)$ in inside $A.$