Prueban la existencia de una función de $C^\infty$ limitada con arbitrarias derivados en un punto fijo. (Borel?)

Question

He encontrado este problema en un foro italiano y desde entonces he luchado para resolverlo. El autor no dice que fue propuesto por Borel. En cualquier caso, el problema es el siguiente

(Borel?) Para cualquier $\{a_n\}_{n=0}^{\infty}\subseteq \mathbb R,\: x_0\in\mathbb R\,$ $\,\varepsilon>0$ ¿existe un $C^\infty$ función de $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ tal que $$f^{(n)}(x_0)=a_n,\; \forall n\in\mathbb N\cup\{0\}\tag{1}$$ and moreover $$\left|f(x)-a_0\right|<\varepsilon,\;\forall x\in\mathbb R?$$

Claramente, incluso de referencia sobre el problema son bienvenidas, pero le recomiendo a nadie a pensar acerca de esto porque, en realidad, cuando la conocí por primera vez, pensé: "esto es un gran problema".

No tengo ninguna idea de hacia la solución. Espero que se hayan divertido con este.

Saludos.

Answer 1

Aquí es un contraejemplo.

Para el intervalo arbitrario $I\subset\mathbb{R}$ denotar $M_k(f,I)=\max_{t\in I}|f^{(k)}(t)|$, luego de un ejercicio 14 Capítulo 5 en Rudin Principios de análisis Matemático sabemos que $$ M_1^2(f,I)\leq 4M_0(f,I)M_2(f,I) $$ para cualquier intervalo de $I$ $f\in C^3(I)$

Tomemos $a_1>2\sqrt{(|a_0|+\varepsilon)(|a_2|+\varepsilon)}$ y el resto lo que quieras. Suponer que existe una función suave $f$ con predescribed propiedades. Desde $f\in C^\infty(\mathbb{R})$, entonces podemos encontrar el barrio de $U$ $x_0$ donde $$ M_2(f,U)<|f^{(2)}(x_0)|+\varepsilon=|a_2|+\varepsilon $$ Por construcción $|f(x)-a_0|<\varepsilon$ todos los $x\in\mathbb{R}$, por lo que $$ M_0(f,U)<|a_0|+\varepsilon $$ Finalmente $$ M_1^2(f,U)>|f'(x_0)|^2=a_1^2>4(|a_0|+\varepsilon)(|a_2|+\varepsilon)>4M_0(f,U)M_2(f,U) $$ Contradicción.