Encuentra la inversa de la expresión de forma cerrada de la relación de recurrencia lineal

Question

Estoy tratando de encontrar una función inversa de la siguiente fórmula:

$$ a_n=\frac{2+\sqrt{6}}{4}(1+\sqrt{6})^n+\frac{2-\sqrt{6}}{4}(1-\sqrt{6})^n $$ Esta fórmula es una forma cerrada de la expresión de un lineal de la recurrencia de la relación y me gustaría encontrar una forma cerrada de la expresión de la inversa para la prueba de si y donde (índice) de un número dado se produce en el lineal de la recurrencia de la relación.

No sé si esto es posible (si no, ¿por qué no?), pero un problema similar para el lineal de la recurrencia de la relación que describe los números de Fibonacci se ha resuelto:

$$ \begin{align} F_n&=\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n\\ &=\frac{\varphi^n-(-\varphi)^{-n}}{\varphi+\varphi^{-1}} = \frac{\varphi^n- (-\varphi)^{-n}}{\sqrt{5}}\\ \text{where } \varphi &= \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\\ \text{and }n&=\log_\varphi(\frac{F_n\sqrt{5}+\sqrt{5F_n^2\pm4}}{2}) \end{align} $$

Si es posible encontrar una inversa por la mencionada fórmula, estoy interesado en un método más general para abordar el problema, en particular, cómo manipular el formulario: $$ c_0(a+\sqrt{b})^n+c_1(a-\sqrt{b})^n $$

Es de esta forma, de una forma especial (es el nombre y/o tiene propiedades especiales)? He intentado buscar con términos como "la suma de conjugar el binomio poder", pero no pudo encontrar nada que se describe en este formulario.

Answer 1

Escribo esto como $a_n = c p^n + d q^n$, donde $-p < q < -1$. Ahora $n$ suficientemente grande tenemos $|d q^n| < |c| (p^{1/2} - 1) p^n$ y $|d q^n| < |c| (1 - p^{-1/2}) p^n$, que $ c p^{n - 1/2} < a_n < c p^{n+1/2}$. Así, con un número finito de excepciones, si un número entero positivo $x = a_n$, $n$ será el entero más cercano a $\dfrac{\log x - \log c}{\log p}$. En este caso ambos $\left|\dfrac{d}{|c| (\sqrt{p}-1)} \right|$ y $\left|\dfrac{d}{|c|(1 - 1/\sqrt{p})}\right|$ están a menos de $1$, por lo que es cierto para todos los enteros no negativos $n$.

Answer 2

EDIT : Dah, no funciona como el primer comentarista señaló. Supongo que tenía que escribir todo a ver dónde se ha fallado! Os dejo la respuesta para los curiosos.

El cuadrática enfoque funciona, solo requiere de algún buen pensamiento (al menos en este caso funciona!).

Para comenzar con $$ a_n = \frac{2+\sqrt 6}4 \left( 1 + \sqrt 6 \right)^n + \frac{2-\sqrt 6}4 \left( 1 - \sqrt 6 \right)^n. $$ Me he decidido a escribir $\varphi_6 \overset{def}= 1 + \sqrt 6$$\overline{\varphi}_6 \overset{def}= 1 - \sqrt 6$, por lo que la ecuación anterior se puede reescribir como $$ 4 a_n = (1 + \varphi_6) \varphi_6^n + (1+\overline{\varphi}_6)\overline{\varphi}_6^n. $$ Tenga en cuenta que $\varphi_6 \overline{\varphi}_6 = -5$, por lo tanto $$ 4 a_n \varphi_6^n = (1+\varphi_6)\varphi_6^{2n} + (1+\overline{\varphi}_6)(-5)^n. $$ La ecuación cuadrática $$ (1+\varphi_6) y^2 - 4a_n y + (-5)^n(1+\overline{\varphi}_6) = 0 $$ tiene la solución $\varphi_6^n$, por lo tanto, por darse cuenta de que $$ (1+\varphi_6)(1+\overline{\varphi}_6) = (2+\sqrt 6)(2-\sqrt 6) = -2, $$ obtenemos $$ \varphi_6^n = \frac{4a_n \pm \sqrt{ 16a_n^2 -4(1+\varphi_6)(1+\overline{\varphi}_6)(-5)^n } }{2(1 + \varphi_6)} = \frac{4a_n \pm \sqrt{ 16a_n^2 + 8(-5)^n } }{2(1 + \varphi_6)} ; $$ pero necesitamos determinar este signo, como sólo sabemos $\varphi_6^n$ pertenece a uno de los dos signos posibles. Si $n$ es par, entonces $$ 4a_n = \sqrt{16a_n^2} < \sqrt{16 a_n^2 + 8 (-5)^n}, $$ por lo tanto, ya $\varphi_6 > 0$, debemos tomar la $+$ signo. Si $n$ es impar, denotan por $\psi_n$ la otra raíz de la ecuación cuadrática que $\varphi_6^n$ resuelve. Luego de una ecuación cuadrática con coeficientes de $a,b,c$ y las raíces de la $r_1, r_2$, vemos que $$ ay^2 + by + c = a(y^2 + \frac ba s + \frac ca) = a (y - r_1)(y - r_2) = (y^2 - (r_1+r_2)y + r_1 r_2) \quad \Longrightarrow \quad r_1 r_2 = \frac ca. $$ El uso de esta identidad con las aproximaciones $\varphi_6 \approx 3.45$$\frac 5{\varphi_6} \approx 1.45$, podemos ver que $$ \varphi_6^n \psi_n = \frac{1+\overline{\varphi}_6}{1+\varphi_6} (-5)^n = 5^n \frac{-(1+\overline{\varphi}_6)}{1+\varphi_6} \approx 5^n \cdot 0.1 \quad \Longrightarrow \quad \psi_n \approx \frac{(1.45)^n}{10} < (3.45)^n = \varphi_6^n, $$ de modo que $\varphi_6^n$ corresponde de nuevo a la $+$ signo, ya que las dos raíces son $\varphi_6^n$ $\psi_n$ pero $\varphi_6^n > \psi_n$.

(Tenga en cuenta que el discriminante de la ecuación cuadrática para $\varphi_6^n$ debe ser positivo desde $\varphi_6$ es un número real ; en otras palabras, $a_n^2 > \frac{5^n}2$ $n$ impar, no tenemos que hacer la verificación.)

Así tenemos $$ \varphi_6^n = \frac{4a_n + \sqrt{ 16a_n^2 + 8(-5)^n } }{2(1 + \varphi_6)}, $$ por lo tanto $$ n = \frac{ \log \left( \frac{4a_n + \desbordado{\, \, \, \quad \qquad \displaystyle{\downarrow}}{\sqrt{ 16a_n^2 + 8(-5)^n } }}{2(1 + \varphi_6)} \right) }{\log(\varphi_6)}. $$ (Flecha señala por qué ha fallado.)

Espero que ayude,

Answer 3

Lo que yo haría:

$$\log(a r^n+b s^ n)= n\log r + \log (a+ b t^n)\sim n\log r + \log a$$

Si tiene el $t=s/r$ $|t|<1$. Todo es monotónica (hasta un período de 2) así que es fácil precalculate primeros términos y, para los términos más grandes (de una manera rigurosamente definida), $n_0$ la estimación de $n$ de invertir lo anterior, luego Compruebe cerca $n$ ($\pm1$ digamos) para verificar si uno tiene un partido.