Centro de

Question

Demostrar que $\mathfrak{sl}(n,F)$ (matrices con seguimiento cero) tiene centro $0$, a menos que divide a $\operatorname{char}F$ $n$, en cuyo caso el centro es $\mathfrak{s}(n,F)$ (múltiplos escalares de la identidad).

No entiendo por qué el centro puede ser $0$. ¿No son múltiplos escalares de la identidad siempre en el centro, porque ellos viajan al multiplicar por cualquier otra matriz? ($AB=BA$ si $A$ es un múltiplo escalar de la identidad).

Answer 1

Podemos mostrar el reclamo directo de cálculo o álgebra de la Mentira de la teoría. En el primer caso vamos a $E_{ij}$, $i\neq j$ y $H_i=E_{ii}-E_{i+1,i+1}$ $i=1,\ldots n-1$ ser una base de $L={\frak{sl}} (n,k)$$A\in Z(L)$. A continuación, $0=[A,E_{ij}]=AE_{ij}-E_{ij}A$ para todos los $i\neq j$ $0=[A,H_i]=AH_i-H_iA$ todos los $i$ implica que $A=0$ si $p\nmid n$.

Por otro lado, podemos usar ese $L$ es simple en característica cero. Esto significa, que todos los ideales, en particular el centro de la $Z(L)$, es cero o ${\frak{sl}}(n,F)$ sí. Sin embargo $L=Z(L)$ implicaría que $L$ es conmutativa, lo que significa que $n=1$ y $Z(L)=\frak{sl}(1)=0$. En el otro caso, $Z(L)=0$.
En el carácter $p$ este argumento es más complicado, porque para $p\mid n$ el centro está en el hecho de $1$-dimensional y $L$, entonces no es simple. Sin embargo, $L/Z={\frak{psl}}(n,F)$ entonces es simple para $n>2$.