¿$\mathbb{R}(X+Y)\subseteq\mathbb{R}(X,Y)$ Es una extensión puramente trascendental?

Question

Hay un bonito y corto de la primaria y el argumento de que la extensión de campo $\mathbb{R}(X+Y)\subseteq\mathbb{R}(X,Y)$ es puramente trascendental?

Obviamente, $\mbox{tr deg}_{\mathbb{R}(X+Y)}\mathbb{R}(X,Y)\le1$, debido a $\mathbb{R}(X+Y)\subseteq\mathbb{R}(X+Y,Y)=\mathbb{R}(X,Y)$, por lo que está a la izquierda para mostrar que $Y$ no es algebraico sobre $\mathbb{R}(X+Y)$.

Yo no veo ninguna agradable pruebas de este hecho, sólo algunos la fuerza bruta de los métodos de suma de grados de las facultades de $Y$ en polinomios de $\mathbb{R}(X+Y)[\mathbb{X}]$.

Similar cuestión se refiere a la trascendencia de grado de la extensión de $\mathbb{R}(X^2+Y^2)\subseteq\mathbb{R}(X,Y)$. Esta extensión no es puramente transcendal (una fácil prueba de uso de automorfismos del grupo de Galois). $X$ es algebraico sobre $\mathbb{R}(X^2)$, así que de nuevo $\mbox{tr deg}_{\mathbb{R}(X^2+Y^2)}\mathbb{R}(X,Y)\le1$, debido a $\mathbb{R}(X^2+Y^2)\subseteq\mathbb{R}(X^2+Y^2,Y)=\mathbb{R}(X^2,Y)\subseteq\mathbb{R}(X,Y)$. Pero, ¿cómo demostrar que $Y$ no es algebraico sobre $\mathbb{R}(X^2+Y^2)$?

No sé geometría algebraica, así que por favor no lo utilice en su respuesta.

Answer 1

La clave para observar es que el grado de trascendencia es aditivo en Torres. Por lo tanto como el grado de trascendencia de $\mathbb{R}(X,Y)/\mathbb{R}$ $2$ y $\mathbb{R}(X+Y)/\mathbb{R}$ $1,$ el grado de trascendencia de $\mathbb{R}(X,Y)/\mathbb{R}(X+Y)$ es $1$ y $Y$ no puede satisfacer a relación algebraica $\mathbb{R}(X+Y).$ %#% sigue #% es puramente trascendental.

El mismo método puede utilizarse para mostrar que no es algebraica $\mathbb{R}(X,Y)/\mathbb{R}(X+Y)$ $Y$

Answer 2

Que $A=R[Y]$ y $a=Y \in A$. $R[X,Y] = A[X]$ Y $R[X+Y,Y]=A[X+a]$. El mapa $$A[X] \rightarrow A[X+a], P(X) \mapsto P(X+a)$ $ es un isomorfismo, es decir $$R[U,V] \rightarrow R[X+Y,Y], P(U,V) \mapsto P(X+Y,Y)$ $ es un isomorfismo. Así $(X+Y,Y)$ es una base trascendental de $R(X+Y,Y) =R(X,Y)$.

Ahora que $A=R[Y]$ y $a=Y^2$. Entonces $R[X^2+Y^2] = A[X^2+a]$. Es fácil ver que el mapa $A[X] \rightarrow A[X^2+a], P(X) \mapsto P(X^2+a)$ es inyectivo. Que significa que el $X^2+Y^2$ y $Y$ son algebraicaly indepandant $R$. La prueba que $A[X] \rightarrow A[X^2+a]$ es inyectiva es bastante similar a su "método de fuerza bruta de suma de grados", pero tal vez es más claro en este punto de vista.