¿Interesantes preguntas abiertas en la teoría de ondículas para la investigación de la UG?

Question

Sólo como telón de fondo, voy en mi ultimo año de bachillerato y tengo una bonita luz de carga de este próximo semestre, pero quiero llenar esta vez con algo que realmente va a hacer que mi escuela de posgrado reanudar la chispa. Como se puede adivinar por mi nombre de usuario, estoy fascinado por wavelets (y el análisis armónico en general) y me he decidido a intentar, al menos intentar algunas investigaciones durante el próximo año para cerrar mi UG estudios. Hablé con un profesor acerca de esto y él dijo que él estaría más que feliz de ayudar a mí tanto como puede, y me recibe el crédito para él, pero yo tendría que venir para arriba con el tema y esperar a hacer la gran mayoría de mi cuenta (en realidad yo prefiero trabajar de forma más independiente).

De todos modos, he estado tratando de encontrar un problema que me interesa bastante que me puedo ver a mí mismo trabajando en 5-6 horas al día, pero no he tenido suerte. Mientras yo me siento seguro en mi conocimiento de la teoría de wavelets, yo realmente no sé de qué manera es cuando viene a la investigación real final de las cosas. Sé que los grandes jugadores como Daubechies, Mallat, Morlet, etc. pero estoy teniendo un tiempo difícil averiguar lo que constituye "la vanguardia".

Obviamente, espero que la investigación va a ser más de la final de las cosas, pero prefiero que sea lo más "puro" (es decir, no computacional) como posible sólo porque estoy limitado en la cantidad de potencia de cálculo que tiene acceso a (he tenido mi ordenador se bloquea muchas veces tratando de hacer wavelet proyectos en MATLAB) y yo soy escéptico de que el departamento me deja en cualquier lugar cerca de las grandes armas. Mi base de conocimientos es suficiente que yo puedo entender la mayoría de Mallat "Una Wavelet Tour de Procesamiento de la Señal: La Escasa Camino", aunque me parece que es bastante arduo sólo a causa de la notación y la diagramación. Estoy particularmente interesado en el potencial de interacción entre procesos estocásticos (lo suficientemente agradable por lo menos) y el análisis wavelet. No tengo un gran fondo de integración estocástica bastante todavía, pero aprendo rápido lo suficiente que me siento seguro de que no suponen demasiado de la barrera.

Me gustaría estar en deuda con alguien que pueda me apunte en la dirección correcta.

Answer 1

Como lo entienden la mayoría de Mallat de Una Wavelet Tour de Procesamiento de la Señal, supongo que usted está familiarizado con Bessel y las secuencias de fotogramas.

El siguiente es un problema abierto en relación con la extensión de wavelet sistemas wavelet de imágenes:

Deje que la wavelet de sistema de $\{D_j T_k g \}_{j, k \in \mathbb{Z}} \subset L^2 (\mathbb{R})$ ser un sistema de Bessel en $L^2 (\mathbb{R})$. Hay una wavelet de sistema de $\{D_j T_k h \}_{j, k \in \mathbb{Z}} \subset L^2 (\mathbb{R})$ ejemplo de que la unión $$ \{D_j T_k g \}_{j, k \in \mathbb{Z}} \cup \{D_j T_k g \}_{j, k \in \mathbb{Z}} $$ forma una wavelet marco para $L^2 (\mathbb{R})$.

Existe una pregunta similar en relación dual wavelet marcos.

En caso de que usted está interesado en este problema, le sugiero que eche un vistazo en el recientemente publicado libro Una Introducción a los Marcos y Bases de Riesz (Segunda Edición) por Ole Christensen.

Answer 2

Otra ruta que se puede ir es a centrarse en los aspectos prácticos y la aplicación y, a continuación, Wim Sweldens hizo un polinomio factorización plan llamado el levantamiento esquema de vuelta en la década de los 90 (creo). Puede ser más bien de edad hoy en día, pero seguro que puede dar un poco de práctica speed-ups, así como abre nuevas vías para el diseño de wavelets y bancos de filtros y de factoring, wavelets y algoritmos de adaptación sobre la marcha.

Un corto de la matriz esquemático de una escala de la factorización de la con $N$ elevación pasos:

$$\left[\begin{array}{c}\bf l\\\bf h\end{array}\right]=\underset{\text {Save to multiply one-by-one}}{\underbrace{\left(\prod_{i=1}^N \left[\begin{array}{cl}{\bf I}&\bf 0\\{\bf U}_i&\bf I\end{array}\right]\left[\begin{array}{lc}\bf I&{-\bf P}_i\\\bf 0&\bf I\end{array}\right] \right) }} \underset{\text {Multiply together}}{\underbrace{\left( \left[\begin{array}{cc}\bf S&\bf 0\\\bf 0&\bf S\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\bf I\\\bf L\end{array}\right]\right)}} {\bf v}$$ Donde

• $\bf I$ no hace nada, solo copias.
• $\bf L$ es el perezoso filtro que los retrasos de las muestras por 1.
• $\bf S$ es submuestra un factor de 2
• ${\bf U}_i$ son la actualización de los filtros.
• ${\bf P}_i$ son de predecir los filtros.
• $\bf v$ es el vector columna con la señal de muestras.
• $\bf l,h$ están de paso bajo y paso-alto filtrado de los resultados de la escala actual.

A continuación, la parte práctica es que el diádica de la subdivisión de la que ya ha sido hecho por el bloque de la matriz de la construcción en el lugar, así que sólo tenemos que iterar sobre los valores correctos de la mitad de la ${\bf v}$ sin molestos permutaciones de seguir la pista de.