La siguiente es una breve exposición escribí un par de meses atrás acerca de la prueba de la clasificación, tratando de dar un "gran imagen" a la vista de ella. He copiado directamente de la .archivo tex escribí (y luego trató de arreglar todas las cosas que falla debido a eso), así que si alguien ve cosas raras, hágamelo saber. Si alguien quiere el original .pdf en lugar de ello, se sienten libres para hacer ping a mí en el chat.
En este artículo, voy a ofrecer un esbozo de la prueba de la clasificación de finito dimensionales semisimple álgebras de Lie sobre un algebraicamente cerrado campo de la característica $0$. Así que a partir de ahora, el término álgebra de la Mentira se refieren a uno con las mencionadas propiedades. Todas las referencias son a Humphreys `Introducción a las álgebras de Lie y la teoría de la representación".
La estrategia global de la prueba es asociar a cada Mentira álgebra $L$ un sistema radicular $\Phi_L$ de tal manera que tenemos las siguientes propiedades:
- Si $L\cong L'$ $\Phi_L\cong \Phi_{L'}$
- Si $\Phi_L\cong \Phi_{L'}$ $L\cong L'$
- Para cada sistema radicular $\Phi$ no es una Mentira álgebra $L$ tal que $\Phi \cong \Phi_L$
- Si $L = L_1 \oplus L_2$ $\Phi_L = \Phi_{L_1} \sqcup \Phi_{L_2}$ (aquí se $\sqcup$ denota el ortogonal de la unión)
- $L$ es simple iff $\Phi_L$ es irreductible
Una vez que las propiedades anteriores se han establecido, tenemos una buena correspondencia entre las álgebras de Lie y sistemas de raíces, lo que nos permite clasificar las álgebras de Lie con una clasificación de los sistemas de raíces. Debido a las propiedades 4 y 5, es claro que lo que en verdad necesitas para clasificar a la irreductible sistemas de raíces, que se nos dé la simple Mentira álgebras (y sabemos que semisimple álgebras de Lie son completamente reducible por el Teorema 6.3). La clasificación de los irreductible sistemas de raíces se pueden encontrar en 11.4.
Entonces, ¿cómo hace uno para obtener una correspondencia? En primer lugar, uno tiene que encontrar una manera de obtener un sistema de raíces de una Mentira álgebra. En primer lugar, esto se hace eligiendo un Cartan subalgebra $H$ $L$ y, a continuación, asociar un sistema de raíz a la par $(L,H)$ como se describe en la Sección 8 (aquí un Cartan subalgebra se llama un máximo de toral subalgebra, pero estos son términos equivalentes en nuestro caso debido al Corolario 15.3). Entonces uno necesita para asegurarse de que esta realidad no dependen de la elección de $H$. Para ello, una muestra de que para cualquiera de los dos cartan subalgebras $H_1$ $H_2$ $L$ hay un automorphism $\varphi$ $L$ tal que $\varphi(H_1) = H_2$, que se realiza en la Sección 16. Este automorphism, a continuación, induce un isomorfismo de la raíz asociada a los sistemas. Una vez que hemos establecido esto, es claro que también conseguimos la propiedad 1, como la imagen de un Cartan subalgebra bajo un isomorfismo es de nuevo un Cartan subalgebra.
Propiedades 4 y 5 se establecen en 14.1.
Propiedad 2 se establece en el Teorema 14.2.
Hay dos maneras de establecer la propiedad 3. Una de ellas es la nota que solo necesitamos encontrar un simple correspondiente Mentira álgebra para cada irreductible de la raíz del sistema. Entonces, uno puede ir a través de la clásica simple álgebras de Lie en 1.2 y comprobar que disponen de los correspondientes sistemas de raíces (así como la construcción de adecuados álgebras de Lie para los casos excepcionales). Otro enfoque es el de definir las álgebras de Lie a través de los sistemas de raíces (más precisamente, a través de la matriz de Cartan), como se resume en 18.4.
