Mi pregunta es, ¿cómo puedo evaluar la siguiente integral?
$$\int\frac1{\sqrt[4]{1+x^4}}\mathrm dx$$
Gracias.
Respuestas
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Sorprendentemente, se puede hacer en términos de funciones elementales! Voy a ser descuidado y no preocuparse por los detalles, tales como asegurarse de que sólo tengo las raíces cuadradas de cantidades de positivos. Todo, vamos a tratar de usar sólo `estándar" de las sustituciones (de la que muy pocos), nada inteligente.
Deje $x^2=\tan\theta$. Por lo $2x\,dx =\sec^2\theta\,d\theta$. Llevar a cabo la sustitución, como de costumbre, y por el bien de la familiaridad expresar las funciones trigonométricas en términos de$\sin$$\cos$. Creo que tenemos $$\int\frac{d\theta}{2\cos\theta\sqrt{\sin\theta}}$$ Multiplique la parte superior e inferior por $\cos\theta$. Tenemos $$\int\frac{\cos\theta\,d\theta}{2(1-\sin^2\theta)\sqrt{\sin\theta}}$$ El natural de sustitución de $y=\sin\theta$ nos hace $$\int\frac{dy}{2(1-y^2)\sqrt{y}}$$ Ahora vamos a $z=\sqrt{y}$. A continuación,$dy=2z\,dz$, y terminamos con $$\int\frac{dz}{1-z^4}$$ Ahora el juego es más, hacemos uso de fracciones parciales como de costumbre.
Eaton
Puntos
6306
Integral
$$\begin{align*} \int\frac{1}{(1+x^4)^{1/4}}dx&=\int \frac{1}{x(1+1/x^4)^{1/4}}dx\\ &=\int \frac{x^4}{x^5(1+1/x^4)^{1/4}}dx. \end{align*} $$
Sustitución: $z^4=(1+1/x^4)$
$4z^3 dz=-4\frac{1}{x^5}dx$
Por lo tanto, $$ \begin{align*} \int\frac{1}{(1+x^4)^{1/4}}dx&=\int \frac{x^4}{x^5(1+1/x^4)^{1/4}}dx\\ &=-\int\frac{z^2}{(z^4-1)}dz\\ &=-\frac{1}{2}(\frac{1}{z^2-1}+\frac{1}{z^2+1})dz\\ &=-\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1-z}{1+z}\right|+\arctan z+ C \end{align*} $$ donde $z=(1+1/x^4)^{1/4}$.
