Función $f(x)$ tal que $\frac{f'(x) \cdot x}{f(x)}$ es lineal

Question

Acabo de aprender lo que es la elasticidad-precio de la demanda. Como sólo estamos cursando 10º de economía, nuestro profesor ha intentado simplificarlo con un ejemplo en el que la curva de la demanda es lineal (es decir, la cantidad demandada está en relación lineal con el precio), y se supone que debemos tratar la elasticidad-precio de la demanda de la siguiente manera $e_d$ como si tuviera una relación lineal con el precio (pero es pas ).

Sin embargo, como señaló el profesor a algunos alumnos curiosos, $e_d$ en realidad no tiene una relación tan lineal, como se ve en su fórmula:

\begin{align} e_d = \frac{\text{variation in demand}}{\text{variation in price}} = \frac{\Delta Q}{\Delta P} \times \frac{P}{Q} \end{align} donde $Q$ representa la cantidad demandada y $P$ significa precio, y $\Delta Q$ y $\Delta P$ representan, respectivamente, la variación de la demanda y del precio.

Entonces quise encontrar un caso en el que $e_d$ es realmente lineal. Suponiendo que la demanda $q$ por un precio determinado $p$ viene dada por una función $q = f(p)$ podría expresar la elasticidad del precio a ese precio $p$ como

\begin{align} e_d = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \times \frac{x}{f(x)} = \frac{f'(x)x}{f(x)} \end{align}

Aquí es donde me quedé atascado. Mis limitados conocimientos en cálculo y en matemáticas en general no dan una forma explícita de encontrar un $f(x)$ que hace $e_d$ una ecuación lineal, es decir $\frac{f'(x) \cdot x}{f(x)} = ax + c$ donde $a$ y $c$ son números reales.

Puede que haya mezclado aquí demasiadas matemáticas con economía, pero tengo curiosidad por saber si esto podría ocurrir realmente.

Answer 1

En primer lugar, sabemos que $f$ no puede ser un polinomio, es decir, de la forma

$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$$

desde entonces $xf'(x)$ y $f(x)$ tienen el mismo grado, por lo que su cociente nunca puede ser lineal.

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No obstante, podemos utilizar funciones como (para cualquier real $k\neq 0$ )

$$f(x)=k\cdot x^c\cdot e^{ax}$$ para obtener $$\frac{f'(x)x}{f(x)}=ax+c$$

Answer 2

Si reescribes la ecuación diferencial como $f'/f=a+c/x$ y utilizar el hecho de que $f'/f=(\log f)'$ e integrando ambos lados obtenemos $\log f = ax + c\log x +d$ y exponenciando ambos lados, $f=e^d x^c e^{ax}$ . Reescritura $e^d=k$ (porque $k$ es un nombre más estándar para una constante multiplicativa), obtenemos $f=kx^c e^{ax}$ .

De aquí viene la respuesta de @vrugtehagel.