Consejos para integrar $\int \frac{dx}{1+\cos(x)}$

Question

He probado los siguientes $$ \int \frac{dx}{1+\cos(x)} = \int \frac{1-\cos(x)}{1-\cos^2(x)} \,dx= \int \frac{1-\cos(x)}{\sin^2(x)} \,dx\\ = \int \frac{1}{\sin^2(x)} \,dx-\int \frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} \,dx=\int \csc^2x\ , dx-\int \cot (x) \csc (x) \,dx $$ que busqué y encontrada para ser igual a $$ \csc (x)-\cot (x) + c $$

¿Es necesario memorizar la identidad final, o hay una forma más elegante para evaluar esta integral?

Answer 1

Hacer la sustitución $x=2u$. $$\int \frac{dx}{1+\cos(x)} = 2\int \frac{du}{1+\cos(2u)} = \int \frac{du}{\cos^2(u)} = \tan(u)+C = \tan(x/2)+C.$$

Answer 2

Aquí hay dos metodologías que proporcionan un camino a seguir.

METODOLOGÍA de $1$ Clásica de Weierstrass Sustitución

En este clásico y el enfoque sistemático, aplicamos la sustitución de $u=\tan(x/2)$.

A continuación, el uso de $\cos(x)=\frac{1-u^2}{1+u^2}$ $dx=\frac{2}{1+u^2}\,du$ encontramos

$$\begin{align} \int \frac{1}{1+\cos(x)}\,dx&=\int \frac{2}{(1+u^2)+(1-u^2)}\,du\\\\ &=u+C\\\\ &=\tan(x/2)+C \end{align}$$

como se esperaba!

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METODOLOGÍA de $2$ Uso de Análisis Complejo

Tenga en cuenta que podemos expresar la función coseno como $\cos(x)=\frac12(e^{ix}+e^{-ix})$. Entonces, podemos escribir

$$\begin{align} \int \frac{1}{1+\cos(x)}\,dx&=\int \frac{2}{(e^{ix/2}+e^{-ix/2})^2}\,du\\\\ &=\int \frac{2e^{ix}}{(e^{ix}+1)^2}\\\\ &=\frac{2i}{(e^{ix}+1)}+C\\\\ &=\frac{2ie^{-ix/2}}{e^{ix/2}+e^{-ix/2}}+C\\\\ &=\tan(x/2)+i+C\\\\ &=\tan(x/2)+C' \end{align}$$

Como iba a ser mostrado!

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EXTRA

Aquí nos muestran que la $\csc(x)-\cot(x)=\tan(x/2)$. Procedemos por escrito

$$\csc(x)+\cot(x)=\frac{1-\cos(x)}{\sin(x)}$$

Siguiente, invocamos a las identidades $1-\cos(x)=2\sin^2(x/2)$$\sin(x)=2\sin(x/2)\cos(x/2)$. Por lo tanto, tenemos

$$\frac{1-\cos(x)}{\sin(x)}=\frac{2\sin^2(x/2)}{2\sin(x/2)\cos(x/2)}=\tan(x/2)$$

como iba a ser mostrado!

Answer 3

Las tablas generalmente de derivados decirle eso $$ \frac d {dx} \csc x = - \csc x \cot x $ y $$ \frac d {dx} \cot x = - \csc^2 x $$ así que si ya los tienes, entonces estamos casi listos.

Answer 4

Aquí es un método similar a la solución de C. Dubussy excepto no debe realizarse sustitución.

Recordando $1 = \cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}$ y $\cos x = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}$, la integral puede ser escrita como\begin{align*} \int \frac{dx}{1 + \cos x} &= \int \frac{dx}{\left (\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}\right ) + \left (\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} \right )}\\ &= \int \frac{dx}{2 \cos^2 \frac{x}{2}}\\ &= \frac{1}{2} \int \sec^2 \frac{x}{2} \, dx\\ &= \tan \frac{x}{2} + \cal{C} \end{align*}