¿Hay una fórmula para $(\frac{3}{p})$?

Question

En la teoría de los números que aprendemos cuando $2$ es una ecuación cuadrática de residuos: $ \left( \frac{2}{p}\right) = (-1)^{\frac{p^2 - 1}{8}}$

Se toma un momento para comprobar que $\displaystyle \frac{p^2 - 1}{8} \in \mathbb{Z}$ siempre. A mí el $2$ es un poco arbitraria. ¿Por qué es $2$ especial?

Hay una fórmula análoga para $(\frac{3}{p})$ del tipo $(-1)^?$

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El uso de la reciprocidad cuadrática una muestra $3 \equiv \square \mod p$ si y sólo si $ p = \pm 1 \mod 12 $ (y nunca al $p = \pm 5 \mod 12$) toma un poco de matemáticas para mostrar ambas clases de números primos son infinitos!!!

El caso de $(\frac{2}{p})$ puede ser probada sin reciprocidad Cuadrática a partir del teorema de Fermat. Me pregunto si $(\frac{3}{p})$ puede así.

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Puedo intentar:

$$ \left(\frac{3}{p}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}\cdot \frac{3-1}{2}} \left(\frac{p}{3}\right) $$

Answer 1

Voy a suponer $p>3$. Usted puede hacer la segunda parte, sin el uso de la reciprocidad cuadrática. En primer lugar, vamos a probar que $$-3 \text{ is a quadratic residue}\iff p\equiv 1\pmod 3$$ $$\left(\frac{-3}p\right)=1\iff \exists x: p|x^2+3\iff\exists y:p|(2y+1)^2+3$$ $$\iff p|4y^2+4y+4\iff p|y^2+y+1\iff p\not\lvert y-1,p|y^3-1$$ Deje $g$ ser una raíz primitiva en $\bmod p$. Si $3|p-1$, $y=g^{p-1\over 3}\ne1$, pero $y^3=1$. Por otro lado, si $3\not\lvert p-1$, entonces no existe $a,b$ tal que $3a=(p-1)b+1$. Por lo tanto, si $y^3\equiv 1\pmod 3$ ; $$y\equiv y^{1+(p-1)b}\equiv(y^3)^a\equiv 1^a\equiv 1\pmod p$$ Por lo tanto, $$-3 \text{ is a quadratic residue}\iff p\equiv 1\pmod3$$

Usted puede hacer el resto con el hecho de que $-1$ es un residuo cuadrático $\iff$ $4|p-1$ .

Sin embargo, usted no puede tener una fórmula parecida a $(-1)^{qP(p)}$ para algunos polinomio $P\in\Bbb{Z}[X],q\in \Bbb Q$, ya que su valor sólo depende de la potencia de $2$$P(p)$$q$.