¿Coproductos de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ $\textbf{Grp}$?

Question

Definir un grupo $G$ con dos generadores $a$ $b$, sujetas solamente a la relaciones $a^2 = e_G$, $b^3 = e_G$. ¿Cómo veo que $G$ es un coproductos de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ y $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ $\textbf{Grp}$?

¿Reflexiones sobre el problema hasta ahora: probablemente quiero mostrar que satisface la característica universal correcto? Tengo problemas para construir el homomorfismo es necesario explícitamente usando los dos homomorphisms dados (en la definición de coproductos). ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

En general, el subproducto de cualquier tipo de estructuras algebraicas pueden ser presentados por la inconexión de la unión de los generadores con la inconexión de la unión de 'relaciones'.

En su caso $\Bbb Z/2\Bbb Z\cong\langle a\mid a^2=e\rangle\,$$\ \Bbb Z/3\Bbb Z\cong\langle b\mid b^3=e\rangle$, así que la unión de las presentaciones.

Aquí, por una "relación" en la configuración general, nos referimos a un par de $(\sigma,\tau)$ de los elementos de un libre álgebra $F_X$ (cuyos elementos son sólo el punto de vista formal , compuesto de una de las operaciones aplicadas a los dados "generador de elementos' $\in X$).

Ahora una presentación puede ser definida como un par de $\langle X\mid R\rangle$ donde $X$ es un conjunto (de generadores) y $R$ es un conjunto de relaciones en el libre álgebra $F_X$. Lo que se 'presenta' es el cociente de la estructura de $F_X/(R)$ donde $(R)$ es el más pequeño de la congruencia que contengan $R$. También tenga en cuenta que, cualquier estructura $\mathfrak M$ se presenta en una forma trivial por $\langle M\mid \Delta_M\rangle$ con todos sus elementos y las relaciones.
Una función de $f:X\to Y$ será un morfismos de presentaciones de $\langle X,R\rangle\to\langle Y,T\rangle\ $ fib para todos los $(\sigma,\tau)\in R$ tenemos $\ (f(\sigma),\,f(\tau))\in T$.

Finalmente, el functor $\mathfrak M\mapsto \langle M\mid \Delta_M\rangle$ es correcto adjunto a $\langle X\mid R\rangle\mapsto F_X/(R)$, por lo que conserva colimits.

Answer 2

Si $G$ es un finitely generado grupo, entonces cualquier grupo homomorphism $\varphi: G \to H$ está determinado completamente por su acción sobre los generadores de $G$, parecida a la de un lineal mapa de un espacio vectorial $V$ está determinada en su totalidad por su acción sobre la base de una $V$. Esto significa dos cosas.

1. Si queremos "construir" un homomorphism $\varphi: G \to H$, que se hacen una vez que decida que elementos de la $H$ queremos mapa de los generadores de $G$.
2. Si tenemos un homomorphism $\varphi: G \to H$, entonces se puede escribir en términos de la acción de los generadores, incluso si no hemos especificado cuál es el proceso.

Por ejemplo, supongamos $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z} = \langle a : a^5 = e\rangle$ ser el grupo cíclico de orden $5$ (generados por $a$). Cada elemento de a $g$ $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ puede ser escrito como $g = a^k$ para algún entero positivo $k$, por lo que cada homomorphism $\varphi: \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \to H$ puede ser escrito como$$\varphi(g) = \varphi(a^k) = \varphi(a)^k.$$

Tanto en $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ son cíclicos, así que vamos a denotar su generadores por $g_2$$g_3$, respectivamente. Normalmente, utilizamos "$1$" como el generador, pero va a ser confuso a menos que se distinguen las $1$ $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ de la $1$$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$.

Vamos a construir dos homomorphisms por pensar acerca de dónde se deben enviar los generadores.

• Tenemos $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} = \langle g_2 : g_2^2 = e\rangle$, por lo que cualquier homomorphism $i: \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \to G$ es determinado por el valor de $i(g_2)$. Intuitivamente, que el elemento de $G$ "corresponde" naturalmente a $g_2$?
• Igualmente, se ha $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} = \langle g_3 : g_3^3 = e\rangle$, por lo que cualquier homomorphism $j: \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \to G$ es determinado por el valor de $j(g_3)$. Intuitivamente, que el elemento de $G$ "corresponde" naturalmente a $g_3$?