Composición por trozos función límite de

Question

$$f(x) = \left\{\begin{array}{ll} x^2 + 2 & : x < 1\\ 2 & : x = 1\\ (x - 1)^2 + 4 & : x> 1 \end{array} \right.$$

¿Por qué el siguiente límite es igual a 3? $$\lim\limits_{x \to 0} \ f(1 - x^2)$ $ Mi primer pensamiento fue que era inexistente.

Answer 1

Tenga en cuenta que $x^2 > 0$ $x \neq 0$, por lo que si establece $1-x^2=t$, tenemos $t < 1$.

Así que tenemos $ de $$\lim_{x \to 0} f(1-x^2)=\lim_{t \to 1^{-}}f(t)=\lim_{t \to 1^{-}}(t^2+2)=3$ $f(t)=t^2+2$ $t<1$.

Answer 2

$$\lim_{x \to 0}f(1-x^2)=\lim_{x\to0}(1-x^2)^2+2=(1-0)^2+2=3$ $ Porque $x\to0$, podemos utilizar la función de $x<1$ y enchúfalo en.

EDIT: Lo anterior implica, pero hay que explícitamente decir que para todas las $x\not=0$, $x^2>0$ % por lo tanto, $1-x^2<1$

Answer 3

El límite de una función en un punto dado está determinado por los valores que toma cerca, pero no se en que punto. Por ejemplo, para determinar el límite de $x \mapsto f(1 - x^2)$ a cero, tenemos que examinar los valores de $f(1 - x^2)$ a los valores de $x$ que están cerca pero no es igual a cero.

Suponiendo que $x$ está destinado a ser restringido a los números reales (que los trozos de definición de $f$ sugiere implícitamente), $x^2 > 0$ (y, por tanto,$1 - x^2 < 1$) siempre que $x \ne 0$. Por lo tanto: $$f(1 - x^2) = (1 - x^2)^2 + 2 \quad \forall x \ne 0.$$

El límite de $(1 - x^2)^2 + 2$ $x \to 0$ es igual a $3$.

Answer 4

El primer paso esencial en la evaluación del valor o la forma de una función de composición en forma de $f(g(x))$, es determinar en qué intervalos del dominio de $f(x)$, $g(x)$ aplicar(i.e en el dominio de $f(x)$ coincide con el rango de $g(x)$). En este caso con un pedazo sabio función que necesitamos para evaluar el rango de $g(x)$, ya que este rango es lo que va a determinar el intervalo del dominio de $f(x)$ a tener en cuenta. Observe que $g(x)=1-x^2$ $1-x^2<1$ para todos los valores de x, excepto los $x=0$. Por lo tanto, el dominio de f(x) en cuestión es x<1, que es donde $f(x)=x^2 + 2$. En consecuencia $$f(g(x))=(1-x^2)^2+2$$ and $$\lim_{x\to 0}\,f(g(x))=\lim_{x\to 0}\,(1-x^2)^2+2=(1)^2+2=3$$