Este es mi entendimiento de este yoga. Puede que no sea exactamente lo que usted busca y puede diferir de otra persona, punto de vista. También me disculpo por mi mala inglés.
Para Grothendieck, muchas cosas deben tener un pariente versión. Así que en lugar de considerar únicamente un espacio de $X_0$, considere la posibilidad de un morfismos $f:X\rightarrow S$ pensamiento como una familia de espacios de $s\mapsto X_s:=f^{-1}(s)$.
He aquí un sencillo ejemplo de la relación de pensamiento : Digamos que usted desea adjuntar numérico invariantes a su primer espacio de $X_0$, por ejemplo, su dimensión, en su lugar usted debe reemplazarlo por una función en $S$, y se obtiene la relación de la dimensión. Bajo algunos supuestos, esta función se comportan bastante bien.
Si ahora desea adjuntar invariantes que son conjuntos, o abelian grupos, a su primer espacio de $X_0$. Así que hay una muy buena herramienta que hacer exactamente lo que usted desea para la relativa de la versión : presheaves en $S$. Y bajo algunos supuestos, estos están estrechamente relacionados con las poleas.
Las seis operaciones de surgir de esta manera si quieres estudiar cohomology.
Hay muchos cohomology teorías que hay, y muchos de ellos tienen sus 6 operaciones. Pero ellos no se comportan exactamente de la misma manera, así que vamos a decir que trabajamos con las cohomology de (buen) espacios topológicos.
También es mejor trabajar con categorías derivadas. De hecho, la cohomology de espacio es en realidad un complejo hasta cuasi-isomorfismo, más que el de los grupos de $H^i$. También, por ejemplo, el functor $f^!$ existe solamente en el nivel de categorías derivadas. Si $X$ es un espacio, vamos a $D(X)$ ser la derivada de la categoría de poleas en $X$ y deje $\mathbb{Z}_X$ ser la constante de la gavilla con valor de $\mathbb{Z}$$X$.
Vamos a empezar con la primera functor $f_*$ o más $Rf_*:D(X)\rightarrow D(S)$. Bien, esto es exactamente el functor que calcula cohomology. De hecho, si $f$ es adecuada, $(R^if_*\mathbb{Z}_X)_s=H^i(X_s,\mathbb{Z})$ (este es el llamado adecuada teorema de cambio de base). Así que esta es exactamente la relativa versión de cohomology. De hecho, si $f$ es adecuado y fluido (=inmersión), a continuación, $R^if_*\mathbb{Z}$ son locales de sistemas en $S$.
También hay $f_!$ o más $Rf_!:D(X)\rightarrow D(S)$. Se hace lo mismo, pero con cohomology con soporte compacto : $(R^if_!\mathbb{Z}_X)_s=H^i_c(X_s,\mathbb{Z})$. Este veces, uno no tiene que asumir la $f$ apropiado.
Y, por supuesto, el producto tensor $\otimes$ da la estructura multiplicativa en cohomology. Entonces, uno puede hablar de derivadas de análogo de la Kunneth fórmula...
Ahora, si $g:T\rightarrow S$, no es el functor $g^*:D(S)\rightarrow D(T)$. En cierto sentido, este es el que justifica la totalidad de la cosa : este es el functor que corresponden a la evolución de la base de$S$$T$. Por ejemplo, si $j:U\rightarrow S$ es la inclusión de un subconjunto abierto, uno puede formarse $X_U=f^{-1}(U)$$j^*Rf_*\mathbb{Z}_X=R(f_{|X_U})_*\mathbb{Z}_{X_U}$. Esta es una (muy fácil) caso especial de una muy profunda : la suave base de cambio teorema. El cambio de bases, es MUY útil. Por ejemplo, el cambio de base a la cobertura universal, por lo que los sistemas locales de ser constante. O en la geometría algebraica, cambio de base a la clausura algebraica. Y, por supuesto, de tomar los tallos ya son casos especiales de cambio de base de...
Y por último, el functor $f^!:D(S)\rightarrow D(X)$ y el interno Hom hay que lidiar con la dualidad. (Tenga en cuenta que $f^!$ es correcto adjunto a $f_!$, no a la izquierda). En lugar de una dualidad entre el$H^i_c$$H_{d-i}$, ahora tenemos versiones locales, permitiendo a los locales cálculos y así sucesivamente... Sólo la integridad, la si $S$ es un punto, $f_*f^!\mathbb{Z}$ es el Borel-Moore homología y $f_!f^!\mathbb{Z}$ es el ordinario de homología (al menos si $X$ es bastante bueno).
