Demostrar que la Integral de $\frac{1}{x}$ no es una función racional

Question

El título es bastante explicativo, me gustaría demostrar que \begin{align*} \int\frac{1}{x}\,dx \end{align*} no puede ser una función racional. Me han tratado de una prueba por contradicción, pero no parece conducir a ninguna parte. Si se supone que $F(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$ donde $p(x)$ $q(x)$ son polinomios, entonces el uso de diferenciación logarítmica, \begin{align*} \frac{1}{x}=\frac{p(x)}{q(x)}\left(\frac{p'(x)}{p(x)}-\frac{q'(x)}{q(x)}\right) \end{align*} No veo cómo esto conduce a una contradicción. Puedo obtener resultados similares usando el cociente de la regla

\begin{align*} \frac{1}{x}=\frac{p'(x)q(x)-p(x)q'(x)}{[q(x)]^2} \end{align*} La escritura de los términos de $p(x)$ $q(x)$ le parece demasiado complicado. Cualquier ayuda o sugerencia será muy apreciada.

Answer 1

Como escribió en un comentario, esta es la misma cosa como demostrando que $\log$ no es una función racional. Supongamos que fue. Entonces podríamos expresar $\log$ $\frac pq$, donde $p$ y $q$ son funciones polinómicas. Además, $\deg p>\deg q$, desde $\lim_{x\to+\infty}\log(x)=+\infty$. Así $\frac pq=P+R$, donde $P$ es una función polinómica no constante y $R$ es una función racional tal que $\lim_{x\to+\infty}R(x)=0$. Además, $$1=\frac{e^{\log x}}x=\frac{e^{P(x)}}xe^{R(x)}.$$This is impossible, since$$\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{P(x)}}xe^{R(x)}=(+\infty)\times1=+\infty$$or$% $ $\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{P(x)}}xe^{R(x)}=0\times1=0.$

Answer 2

Que $p(x),q(x)$ ser polinomios sin común factores tales que $\ln x=p(x)/q(x)$.

$\lim_{x\to 0^+}\ln x=-\infty$ significa $q(x)$ tiene una raíz en $0$, que $q(x)=x q_1(x)$ % polinomio $q_1(x)$.

significa el $\lim_{x\to 0^+} x \ln x=0$ $q_1(x)$ no tiene una raíz en $x=0$ y que $p(x)$ tiene una raíz en $0$, por lo que divide a $x$ $p(x)$, contradiciendo la hipótesis de los factores no comunes.

Answer 3

Que $f(x)=p(x)/q(x)$ en su mínima expresión y considerar $f'(x)$. Si $q(x)$ no tiene el factor $x$ luego el denominador de $f'(x)$ no tiene $x$ como un factor. Pero si $q(x)$ tiene un factor de $x^r$, entonces el denominador de $f'(x)$ tiene un factor de $x^{r+1}$.

Answer 4

Supongamos $\ln(z)=\frac{p(z)}{q(z)}$ donde $p(z)$ $q(z)$ son polinomios y estos se han reducido a su forma más simple. A continuación, el uso de diferenciación logarítmica, \begin{align*} \frac{1}{z}=\ln(z)\left(\frac{p'(z)}{p(z)}-\frac{q'(z)}{q(z)}\right) \end{align*} Tomando el contorno de la integral de ambos lados de la ecuación alrededor de un bucle centrada en cero \begin{align*} \oint_\gamma\frac{1}{z}\,dz&=2\pi i \end{align*} Por el tipo de argumento principio, \begin{align*} \oint_\gamma\left(\ln(z)\frac{p'(z)}{p(z)}-\ln(z)\frac{q'(z)}{q(z)}\right)\,dz&=2\pi i\left[\sum_{i=1}^{n}\ln(z_i)n(\gamma,z_i)-\sum_{i=1}^{m}\ln(w_i)n(\gamma,w_i)\right] \end{align*} \begin{align*} 2\pi i\left[\sum_{k=1}^n\ln(z_k)-\sum_{k=1}^{m}\ln(w_k)\right] \end{align*} debido a $p(z)$ $q(z)$ no tienen ningún polos. Usando las leyes de los logaritmos, \begin{align*} 1&=\ln\left(\frac{z_1z_2\cdots z_n}{w_1w_2\cdots w_m}\right) \end{align*} lo que significa que $z_k=0$ algunos $1\leq k\leq n$. Puesto que los polinomios se han reducido a su forma más simple, $q(z)$ no tiene una raíz en $z=0$. Desde $z_k$ fue un cero de $p(z)$, esto implica $\frac{p(0)}{q(0)}=0$, pero esto es absurdo, ya $\ln(0)$ no está definido.

Answer 5

Sin embargo, otra manera: si $\int \frac{dx}{x}$ fueron racional, podríamos escribir

$\displaystyle \int \dfrac{dx}{x} = \dfrac{p(x)}{q(x)}, \tag 1$

con $p(x), q(x) \in \Bbb R[x]$.

Primera pregunta: ¿cómo sabemos que podemos tomar $p(x), q(x) \in \Bbb R[x]$, y no $p(x), q(x) \in \Bbb C[x]$? Bueno, si $p(x), q(x) \in \Bbb C[x]$, podríamos escribir

$\dfrac{p(x)}{q(x)} = \dfrac{\bar q(x) p(x)}{\bar q(x) q(x)}, \tag 2$

con

$\bar q(x) q(x) \in \Bbb R[x]$. Vemos entonces que

$\Im(\bar q(x) p(x)) = 0, \tag 3$

desde $\int \frac{dx}{x}$ es real. Así

$\dfrac{p(x)}{q(x)} = \dfrac{\Re(\bar q(x) p(x))}{\bar q(x) q(x)}, \tag 4$

el cociente de dos polinomios, por lo que podría asumir que

$p(x), q(x) \in \Bbb R[x] \tag 5$

desde el principio.

Podemos diferenciar (1) y obtener

$\dfrac{1}{x} = \dfrac{p'(x)q(x) - p(x)q'(x)}{q^2(x)}, \tag 6$

que podemos re-escribir como

$q^2(x) = x(p'(x)q(x) - p(x)q'(x)). \tag 7$

Ahora es fácil ver que

$\deg(p'(x)q(x) - p(x)q'(x)) = \deg p(x) + \deg q(x) - 1, \tag 8$

y así

$\deg x(p'(x)q(x) - p(x)q'(x)) = \deg p(x) + \deg q(x); \tag 9$

también,

$\deg q^2(x) = 2 \deg 2q(x), \tag{10}$

así nos encontramos con

$2\deg q(x) = \deg p(x) + \deg q(x), \tag{11}$

de dónde

$\deg q(x) = \deg p(x). \tag{12}$

Ahora dicen

$p(x) =\sum_0^n p_i x^i, \tag{13}$

y

$q(x) = \sum_0^n q_i x^i; \tag{14}$

entonces

$\dfrac{p(x)}{q(x)} = \dfrac{\sum_0^n p_i x^i}{\sum_0^n q_i x^i} = \dfrac{x^n\sum_0^n p_i x^{i - n}}{x^n\sum_0^n q_i x^{i - n}} = \dfrac{\sum_0^n p_i x^{i - n}}{\sum_0^n q_i x^{i - n}}, \tag{15}$

de dónde

$\lim_{x \to \infty}\dfrac{p(x)}{q(x)} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sum_0^n p_i x^{i - n}}{\sum_0^n q_i x^{i - n}} = \dfrac{p_n}{q_n} < \infty; \tag{16}$

pero esto contradice

$\lim_{x \to \infty}\displaystyle \int \dfrac{dx}{x} = \lim_{x \to \infty} \ln x = \infty; \tag{17}$

así, (1) es imposible.