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¿Limita todos $\sum_{n=1}^\infty \frac{m}{(n+m)^2}$ $m\in\mathbb{N}$?

Estoy tratando de averiguar si hay un % constante finito $C$tal que $\sum_{n=1}^\infty \frac{m}{(n+m)^2}\leq C$ % todos $m\in\mathbb{N}$.

Puedo ver que $\sum_{n=1}^\infty \frac{m}{(n+m)^2}\leq\sum_{n=1}^\infty \frac{m}{n^2}=mc$ % constante finita $c$, pero esta es una declaración más débil.

Si ingenuamente reemplazar enteros por reales y sumas de integrales entonces siento que la serie original debe ser limitada.

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Erik Puntos 16

Uso que $\frac{m}{(n+m+1)(n+m)}= \frac{m}{(n+m)}-\frac{m}{(n+m+1)}$ % todos $n,m \in \mathbb{N}$. Entonces podemos ver que su serie está delimitado por $C=1$ comparándola con una serie telescópica. Más precisley:

Para cada $N, m \in \mathbb{N}$ tenemos $$\sum_{n=1}^N \frac{m}{(n+m)^2} = \sum_{n=0}^N \frac{m}{(n+m+1)^2} \leq $$ $$ \leq \sum_{n=0}^N \frac{m}{(n+m+1)(n+m)} = \sum_{n=0}^N \frac{m}{(n+m)}-\frac{m}{(n+m+1)} = $$ $% $ $= \frac{m}{m}-\frac{m}{(N+m+1)}=1 - \frac{m}{(N+m+1)} \leq 1 $

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marty cohen Puntos 33863

Por la integral de la prueba de comparación, $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n+m)^2} =\sum_{n=m+1}^\infty \frac{1}{n^2} \approx \int_m^{\infty} \frac{dx}{x^2} =\frac{-1}{x}\big|_m^{\infty} =\frac{1}{m} $, así $\sum_{n=1}^\infty \frac{m}{(n+m)^2} \aprox 1 $.

Para ser más precisos, $\int_m^{\infty} \frac{dx}{x^2} > \sum_{n=m+1}^\infty \frac{1}{n^2} >\int_{m+1}^{\infty} \frac{dx}{x^2} $, así $\frac{1}{m} > \sum_{n=m+1}^\infty \frac{1}{n^2} >\frac{1}{m+1} $ o $1 >\sum_{n=m+1}^\infty \frac{m}{n^2} =\sum_{n=1}^\infty \frac{m}{(n+m)^2} >(1-\frac1{m+1}) $.

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Roger Hoover Puntos 56

Para cualquier $x>0$: $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x}{(n+x)^2}= x\cdot \psi'(x+1) = x\cdot\frac{d^2}{dx^2}\log\Gamma(x+1)\tag{1} $ $ sino una forma más simple limite se logra teniendo en cuenta que, bajo el mismo supuesto: $$ \int_{0}^{+\infty}\frac{x}{(y+x)^2}\,dy = 1.\tag{2}$ $ es interesante señalar que podemos utilizar este enlazado más bien trivial probar alguna versión de la desigualdad de Stirling: basta con dividir el lado derecho de $(1)$ $x$ e integrar dos veces.

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