Prueba $\{(x,y): x>0\}$ está conectado

Question

Como una introducción al cálculo multivariable, me dan una pequeña introducción a algunos de los topológica de la terminología y definiciones. Como dice el título, tengo que demostrar que $\{(x,y): x>0\}$ está conectado. Mis herramientas para ello son:

Definición 1: Dos conjuntos disjuntos $A$$B$, ni vacío, se dice que son mutuamente separados si no contiene un límite de punto de la otra.

Definición 2: Un conjunto es desconectado si es en la unión de subconjuntos separados.

Definición 3: Un conjunto es conectado si es que no se desconecta.

Debido a que la Definición 3 es una negación, estoy animado a hacer esta contradicción. Supongamos $\{(x,y): x>0\}$ está desconectado. Entonces es la unión de condiciones mutuamente separados conjuntos. No sé a dónde ir desde aquí o si hay una manera de mostrar directamente que el conjunto no puede ser expresado como la unión de condiciones mutuamente separados establece directamente. Cualquier orientación se agradece.

Answer 1

Esto puede no ser exactamente lo que buscas, pero aquí es una manera de:

La función $f: \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ de $f(x, y)=(e^x, y)$ es continuo. La imagen continua de un sistema conectado está conectada. La imagen de $f$ es precisamente $\{(x, y)\in\mathbb{R}^2: x>0\}$.

Answer 2

La cosa extraña acerca de la conexión es que la prueba por contradicción es una especie de forma directa para demostrarlo. La definición de conectado es negativa. Un conjunto está conectado si es que no la satisfacción de una determinada condición. Para contradecir esto sería asumir un conjunto es la satisfacción de una determinada condición, y esa es la razón por la que se obtiene un pseudo-tacto directo a ella. Yo recomiendo hacer la prueba por contradicción, como ya se anima.

La primera cosa que me gustaría hacer es dibujar en el $x$-$y$ plano (o tener una clara imagen mental de) su conjunto. Usted necesita demostrar que no importa cómo usted división que se establece en dos piezas que esas dos piezas no pueden ser mutuamente separados. Así que proceder como usted dice, asumiendo la existencia de dos mutuamente separados conjuntos de $A,B$ cuya unión es su conjunto. Usted no proporciona su definición de límite de punto, pero uso el hecho de que $A$ $B$ no puede contener un límite de punto de la otra. A continuación, elija un punto límite y ver qué más se puede decir de ella. Sigo tratando de encontrar cosas que usted puede decir, hasta que se ha llegado a una contradicción. La contradicción puede no ser inmediatamente evidentes, pero si jugar con estas definiciones por un tiempo, algo de pop.