Supongamos, $a,m,b,n$ son números naturales mayores que $1$.
Si tenemos $$a\uparrow\uparrow m=b\uparrow\uparrow n$$
podemos concluir $a=b$$m=n$ ?
$a\uparrow \uparrow m$ es un powertower de $m$ $a's$ y $b\uparrow\uparrow n$ una torre de energía $n$ $b's$.
Me resultó $b^b\ne a^{a^a}$ para los números naturales $a,b>1$.
Esta es mi prueba :
Set $s:=\frac{ln(b)}{ln(a)}$. Por lo tanto, tenemos $a^s=b$. Por lo tanto, tenemos
$$a^{a^a}=(a^s)^{(a^s)}=a^{sa^s}$$ , so $a^a=sa^s=sb$, podemos concluir que $s$ es racional.
Si $s\ge a$,$sa^s\ge aa^a>a^a$. Si $s\le a-1$, $sa^s=(a-1)a^{a-1}<aa^{a-1}=a^a$
Por lo tanto, podemos concluir $a-1<s<a$ lo que implica que $s$ no es un número entero.
Por último, suponga $s=\frac{m}{n}$ con coprime $m$$n$. Entonces, tenemos
$$(\frac{m}{n})^na^{s\ n}=a^{an}$$, implying $$(\frac{m}{n})^n=a^{an-m}$$
Porque de $a>s$ tenemos $an-m>sn-m=0$. Por lo tanto, el lado izquierdo de la última ecuación no es un número entero, mientras que el lado derecho es un número entero. Esta contradicción finalmente demuestra la reclamación.
Preguntas:
Es esto una prueba de la correcta ?
Hay una manera más fácil la prueba de que $a^{a^a}=b^b$ no puede mantener para los números naturales $a,b>1$ ? (Por ejemplo, el uso de la $p$-ádico valor de $a^{a^a}$$b^b$) ?
Hay una prueba de que podemos extender a mostrar más generales de la reclamación inicial ?
