Interpretación geométrica de los valores y vectores propios de la representación del producto cruzado como mapa lineal

Question

Fijar ${\bf x} = (x_1,x_2,x_3) \in \Bbb R^3\setminus\{{\bf 0}\}$ . Podemos considerar el producto cruzado como un mapa lineal ${\bf x}\times: \Bbb R^3 \to \Bbb R^3$ que se representa en la base estándar por $$\begin{bmatrix} 0 & -x_3 & x_2 \\ x_3 & 0 & -x_1 \\ -x_2 & x_1 & 0\end{bmatrix}.$$ Además, es fácil calcular su polinomio característico $p(t) = t(t^2 + \|{\bf x}\|^2)$ . Entonces $0$ es un valor propio para el que el eigespacio asociado es la línea abarcada por ${\bf x}$ mismo. Pero podemos escribir $$p(t) = t(t-i\|{\bf x}\|)(t+i\|{\bf x}\|),$$ y continuar el análisis. Suponiendo que no he metido la pata en los cálculos, obtengo que el eigenvector complejo asociado a $i\|{\bf x}\|$ es $${\bf v} = \left(-x_1x_3 - x_2\|{\bf x}\|i, -x_2x_3+x_1\|{\bf x}\|i, x_1^2+x_2^2\right).$$ Tenemos $${\rm Re}({\bf v}) = (-x_1x_3,-x_2x_3,x_1^2+x_2^2) \quad\mbox{and}\quad {\rm Im}({\bf v}) = (-x_2\|{\bf x}\|,x_1\|{\bf x}\|,0).$$ Entonces me di cuenta de eso: $${\bf x}\times {\rm Re}({\bf v}) = \|{\bf x}\|\,{\rm Im}({\bf v}) \quad\mbox{and}\quad {\bf x}\times {\rm Im}({\bf v}) = -\|{\bf x}\|\,{\rm Re}({\bf v}). $$

Aún más, ${\rm Re}({\bf v})$ y ${\rm Im}({\bf v})$ son ortogonales. Estoy desconcertado por mi pequeño descubrimiento. Sin embargo, no puedo interpretar esto geométricamente, y supongo que ese factor extra de $\|{\bf x}\|$ está relacionado con el $i\|{\bf x}\|$ valor propio. ¿Puede alguien explicar qué hay detrás de estos cálculos?

---

Acabo de encontrar este pregunta, y me disculpo por no haber buscado lo suficientemente bien antes de preguntar - sin embargo, no hay una respuesta satisfactoria allí, y no utilizaron partes reales e imaginarias de los vectores propios como señalé aquí - podría hacer algo más fácil de ver, así que por favor no votar para cerrar como duplicado (todavía?).

Answer 1

Lo esencial se pierde un poco en las formas de coordenadas que estás utilizando. No hay una forma agradable de escribir esto en coordenadas porque no hay elementos canónicos de los eigenspaces. Se hace mucho más claro si se abstrae de las coordenadas.

Tome cualquier vector $\mathbf y$ ortogonal a $\mathbf x$ . Entonces

$$ \mathbf y+\mathrm i\frac {\mathbf x}{\|\mathbf x\|}\times\mathbf y $$

es un vector propio con valor propio $-\mathrm i\|\mathbf x\|$ : Al aplicar el producto cruzado, el primer término da como resultado $-\mathrm i\|\mathbf x\|$ veces el segundo y viceversa.

Si quieres verlo en coordenadas, elige el sistema de coordenadas tal que $\mathbf x=(\|\mathbf x\|,0,0)$ . Entonces la matriz es

$$ \|\mathbf x\|\pmatrix{0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0} $$

y los vectores propios son

$$ \pmatrix{1\\0\\0}\;,\;\pmatrix{0\\1\\\mathrm i}\;,\;\pmatrix{0\\1\\-\mathrm i}\;. $$

Como se ha discutido en los comentarios, esto está relacionado con el hecho de que las matrices simétricas sesgadas son los generadores de las rotaciones. Denotando su matriz por $A_{\mathbf x}$ y asumiendo $\|\mathbf x\|=1$ tenemos

$$ \mathrm e^{\phi A_{\mathbf x}}\mathbf y=\mathbf y_\parallel+\cos\phi\,\mathbf y_\perp+\sin\phi\,\mathbf x\times\mathbf y_\perp\;, $$

donde $\mathbf y_\parallel=\mathbf x\mathbf x^\top\mathbf y$ y $\mathbf y_\perp=\mathbf y-\mathbf y_\parallel$ . De nuevo podemos explicitar esto en coordenadas en el caso $\mathbf x=(1,0,0)$ , donde

$$ \exp\left(\phi\pmatrix{0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0}\right)\pmatrix{x\\y\\z}=\pmatrix{1&0&0\\0&\cos\phi&-\sin\phi\\0&\sin\phi&\cos\phi}\pmatrix{x\\y\\z}\;. $$

Puedes pensar en

$$ \exp\left(\phi\pmatrix{0&-1\\1&0}\right)=\cos\phi\pmatrix{1&0\\0&1}+\sin\phi\pmatrix{0&-1\\1&0} $$

como un análogo de $\mathrm e^{\mathrm i\phi}=\cos\phi+\mathrm i\sin\phi$ con

$$ \pmatrix{0&-1\\1&0}^2=-\pmatrix{1&0\\0&1} $$

desempeñando el papel de $\mathrm i^2=-1$ .

Answer 2

He hablado con algunas personas fuera de Internet y una de las interpretaciones es la siguiente:

Tenemos que si $T = {\bf x}\times$ entonces $T$ fija la línea atravesada por ${\bf x}$ y como $T$ es antisimétrico, $T$ deja fijado el complemento de esa línea: el plano normal a ${\bf x}$ . La restricción de $T$ a ese plano ${\bf x}^\perp$ funciona como una rotación de $90$ grados y la dilatación por $\|{\bf x}\|$ por lo que los valores propios son $\pm i\|{\bf x}\|$ .

Las rotaciones en el plano complejo intercambian las partes real e imaginaria, así que eso explica el hecho de que si ${\bf v}$ es un vector propio (asociado a $i\|{\bf x}\|$ , digamos), tenemos $$T({\rm Re}({\bf v})) = \|{\bf x}\|{\rm Im}({\bf v})\quad\mbox{ and }\quad T({\rm Im}({\bf v})) = -\|{\bf x}\|{\rm Re}({\bf v}).$$

Esto se generaliza a $\Bbb R^n$ : arreglar $n-2$ vectores ${\bf x}_1,\cdots,{\bf x}_{n-2}$ y mira el mapa $$T = {\bf x}_1 \times \cdots \times {\bf x}_{n-2}\colon \Bbb R^n \to \Bbb R^n$$ Tenemos $\ker T = {\rm span}\{{\bf x}_1,\cdots,{\bf x}_{n-2}\}$ y $T$ también deja invariante el complemento de ese $(n-2)-$ plano, que es un $2-$ avión. En ese $2-$ plano, $T$ funciona como una rotación y dilatación por algún factor relacionado con estos vectores fijos.