Ayudar a entender la topología producto

Question

Que $X_i$ ser espacio topológico. Que $O_i \subseteq X_i$ denotan conjunto abierto y que $C_i \subseteq X_i$ denotan conjunto cerrado. Que $O$ conjunto abierto en $X = \prod_i X_i$ y que $\pi_i : X \to X_i$ mapa de proyección.

Entonces $O = \bigcap_{i=0}^n \pi_i^{-1}O_i$ $O_i$ abierto en $X_i$. Cerrada que $C$ $X$. ¿Me pregunto cómo imaginar $C$? ¿Sé que $C = \bigcup_{i \in I} \bigcap_{k=0}^{n_i} \pi_k^{-1}C_k$ $C_k$ cerrado en $X_k$?

¿$\pi_i C$? ¿Tiene que $\pi_iC = C_i$ $C_i$ cerrado en $X_i$? Gracias

Answer 1

Puede ser útil para usted, sin embargo no estoy seguro.

Que es mencionado por Brian Rushton se muestra que las proyecciones no son cerradas:

El % de proyección $p: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R$de la % plano $ \mathbb R^2 $en el $x$ eje no está cerrado. De hecho, se cierra el conjunto $\color{red}{F}=\{(x,y)\in \mathbb R^2 : xy=1\}$ $\mathbb R^2 $ y aún no está cerrada su imagen $\color{blue}{p(F)}= \mathbb R \setminus \{0\}$ $\mathbb R$.

Answer 2

No todos los conjuntos abiertos $O$ son igual a la intersección de finito muchos $O_i$; son sólo los elementos de la base.

También, $\pi_i$ no envía a sistemas cerrados a sistemas cerrados; Mira el $xy=1$ $\mathbb{R}^2$ de la hipérbola.