$\log_{10}(1+10^{-n})<10^{-n}$?

Question

En un papel que estaba leyendo, esta desigualdad: %#% $ de #% acercó sin ninguna explicación de por qué es cierto. ¿Alguien tiene una prueba de por qué esto es? ¿Hay alguna propiedad de logaritmo básico falto?

Answer 1

Sí, porque:

• $\ln(1+x)\leqslant x$ cada $x\gt-1$
• $\log_{10}(t)=\ln(t)/\ln(10)$ por definición
• $\ln(10)\gt1$ desde $10\gt\mathrm e$

Por lo tanto, $\log_{10}(1+10^{-n})=\ln(1+10^{-n})/\ln(10)\lt10^{-n}/\ln(10)\lt10^{-n}$.

Answer 2

Para cada número $x>-1$ $$\log_e(1+x)\le x.$$

Por lo tanto $$\log_{10}(1+\varepsilon) = \frac{\log_e(1+\varepsilon)} {\log_e 10} \le \frac{\varepsilon}{\log_e 10}$$

Y $\log_e 10>2$.

Answer 3

Si $f(x)=1+x-10^x$, tenga en cuenta que $x>0$, entonces el $f'(x)<0$, entonces el $f$ % está disminuyendo, $f(0)=0$, entonces el $f(x)<0$: $$1+x-10^x<0\implies 1+x<10^x\implies \log_{10}(1+x)<x