A) Dado un campo $k$ la forma estándar de proyectar el espacio vectorial $k^n$ es considerar el espacio proyectivo $\mathbb P^n(k)$ junto con la incrustación $ k^n \hookrightarrow \mathbb P^n(k)$ definido por $j(a_1,\dots,a_n)=[a_1:\dots:a_n:1] $ para que $k^n$ puede identificarse con el complemento del hiperplano $x_{n+1}=0$ en $\mathbb P^n(k)$ .
b) Esto está muy bien pero no es canónico: a $k$ -espacio vectorial $V$ de dimensión $n$ no es $k^n$ en general.
La proyectación canónica de $V$ es el espacio proyectivo $\mathbb P(V\oplus k)$ junto con el mapa inyectivo $j:V\hookrightarrow \mathbb P(V\oplus k):v\mapsto [(v,1)] $ que identifica $V$ con el complemento del hiperplano $\mathbb P(V\oplus 0)\subset \mathbb P(V\oplus k)$ .
c) El camino hacia la generalización a los haces vectoriales está ahora claro: un haz vectorial $\mathcal V$ sobre un espacio geométrico $X$ (como un colector topológico o diferencial, un espacio analítico, una variedad algebraica,...) es una colección de espacios vectoriales $V(x), x \in X$ variando de forma adecuada (de forma continua, diferencial, analítica, algebraica,...) con $x$ .
La proyectación de $\mathcal V$ es, por tanto, naturalmente $\mathbb P(\mathcal V\oplus k_X)$ , donde $k_X$ es el haz de líneas trivial sobre $X$ .
Se trata de un paquete sobre $X$ cuya fibra en $x$ es el espacio proyectivo $\mathbb P(V(x)\oplus k)$ .
[Pero recuerda que en la geometría algebraica el haz de líneas $k_X$ se identifica notacionalmente con la gavilla estructural $\mathcal O_X$ ]
Su situación es un ejemplo de la construcción general anterior.
