Teoremas que tienen pruebas desde fuera del campo original de las matemáticas

Question

Me gustaría conocer más ejemplos de teoremas, que "pertenecen a un campo de las matemáticas", pero sus demostraciones son del "exterior del campo".

Me interesan sobre todo las pruebas que no son demasiado largas (no como la prueba del último teorema de Fermat), pero en las que la parte principal de la prueba es adivinar para buscar una solución "fuera del entorno actual" se plantea el problema.

Permítanme dar un par de ejemplos, para que quede más claro lo que estoy buscando.

Por ejemplo, cualquier campo finito $F$ tiene $p^k$ elementos, para algún número primo $p$ . Para demostrarlo, hay que observar que si $p=char(F)$ entonces $F$ es en realidad un espacio vectorial de dimensión finita sobre $\mathbb{F}_p$ . Entonces la prueba es evidente. Así que aquí para demostrar algún hecho sobre los campos usamos el álgebra lineal.

Otro ejemplo. Todo subgrupo de un grupo libre $\Gamma$ es gratis. Para ello, se observa que $\Gamma$ puede pensarse como el grupo fundamental $\pi_1$ de un ramo de círculos. Entonces los subgrupos $H$ de $\pi_1=\Gamma$ corresponden a las cubiertas. Los recubrimientos de un gráfico son gráficos. Así que $H$ es un grupo fundamental de un recubrimiento, que es un gráfico, que puede ser homotopado a un ramo de círculos. Así que $H$ también es libre. Aquí utilizamos la topología.

También el teorema del punto fijo de Brower está planteado en términos topológicos muy elementales, pero la demostración (al menos la más corta que conozco) utiliza la homología.

Otro ejemplo es el tercer problema de Hilbert: si tenemos dos poliedros del mismo volumen, ¿podemos cortar uno de ellos en trozos más pequeños (mediante cortes rectos) y luego reordenarlos para obtener el otro poliedro? Para responder a esta pregunta, se necesita un invariante llamado invariante de Dehn, que es un elemento de $\mathbb{R}\otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ (ver por ejemplo estas notas, Prob.1.51 ). Aquí resolvimos un problema sobre geometría euclidiana clásica utilizando algo de álgebra lineal.

Estoy buscando más ejemplos, pero quizá no tan simples como los tres primeros ejemplos que he dado. Al mismo tiempo, quiero ejemplos que puedan ser explicados (tal vez omitiendo detalles) a un estudiante de grado general en unos 20-30 minutos.

Espero no ser demasiado exigente))

Muchas gracias por su ayuda.

Answer 1

1. En la teoría de los números, para demostrar los límites más agudos de las sumas de caracteres (como $\sum_{a=1}^{p-1} (\frac{a^3-2}{p})$ , donde $(\frac{\cdot}{p})$ es el símbolo de Legendre) utilizamos la geometría algebraica: interpretamos la suma de caracteres como el coeficiente lineal en la función zeta de una curva o variedad de dimensión superior sobre un campo finito y utilizamos la hipótesis de Riemann para variedades sobre campos finitos.

2. La conjetura de Ramanujan-Petersson sobre los límites de los coeficientes de la función discriminante modular $\Delta(z)$ es en principio un enunciado en el entorno del análisis complejo, pero su demostración requiere una interpretación algebraica-geométrica de los coeficientes que se intentan acotar.

3. Para demostrar que hay infinitos primos $p \equiv 2 \bmod 5$ que en principio es una afirmación sólo sobre los números primos, utilizamos el análisis (complejo) para demostrar el teorema de Dirichlet sobre los primos en la progresión aritmética. Algunas otras progresiones aritméticas, como $p \equiv 1 \bmod 4$ puede demostrarse que tiene un tamaño infinito mediante técnicas puramente algebraicas, pero no creo que se haya hecho nunca para $p \equiv 2 \bmod 5$ .

4. Que todo número entero positivo es una suma de cuatro cuadrados es una afirmación puramente sobre números enteros, pero tiene pruebas que aportan ideas de otras áreas de las matemáticas. Hay una prueba que utiliza la división con resto en los cuaterniones, hay una prueba que utiliza la geometría de los números de Minkowski (que se considera una parte de la teoría de los números porque es donde se encuentran sus principales aplicaciones, pero a primera vista es inesperado utilizar las propiedades de los volúmenes en el espacio euclidiano para sacar conclusiones sobre los enteros), y hay una prueba de Jacobi que utiliza el análisis (formas modulares).

5. El teorema de Ax-Kochen se refiere a los ceros de polinomios homogéneos sobre $p$ -campos de la adicción y su prueba utiliza la lógica matemática. La cuestión es que una propiedad análoga de los polinomios homogéneos fue demostrada anteriormente sobre todos los campos de series de Laurent ${\mathbf F}_p((x))$ y cualquier ultraproducto no principal de los campos ${\mathbf F}_p((x))$ sobre todos los primos $p$ es elementalmente equivalente a un ultraproducto no principal del campo ${\mathbf Q}_p$ sobre todos los primos $p$ . Entonces, la teoría de modelos permite sacar conclusiones sobre una propiedad en todos los campos, excepto en los finitos ${\mathbf Q}_p$ a partir del conocimiento de la propiedad en todos (o todos pero finitamente muchos) de los campos ${\mathbf F}_p((x))$ .

6. En el análisis armónico, Wiener demostró que el recíproco de una serie de Fourier absolutamente convergente no evanescente también tiene una serie de Fourier absolutamente convergente. Su demostración era aparentemente muy complicada. Nunca la he leído. Más tarde, Gelfand introdujo técnicas algebraicas (ideales máximos en álgebras de Banach) para dar una prueba más conceptual.

7. Para derivar una fórmula para el $n$ -En el caso de los números de Fibonacci, se podría utilizar el álgebra lineal (estudiar todas las secuencias que satisfacen la misma recursividad que los números de Fibonacci y escribir la secuencia de Fibonacci en términos de una base concreta para tales secuencias) o el análisis (series formales de potencias, también conocidas como funciones generadoras). En cierto sentido, la naturaleza lineal de muchos problemas matemáticos es lo que hace del álgebra lineal una herramienta tan importante.

Answer 2

Un buen ejemplo es la conjetura de Kneser

siempre que el $n$ -subconjuntos de a $2n+k$ -se dividen en $k+1$ clases, entonces dos subconjuntos disjuntos terminan en la misma clase. La prueba corta y bonita se da ordenando los puntos en la esfera y usando el teorema de Borsuk-Ulam, por ejemplo, ¡por topología!

También las nociones topológicas como el género de Schwartz se utilizan en la teoría de la complejidad (algunos de los obstáculos en la resolución de ecuaciones polinómicas son puramente topológicos). Se pueden encontrar muchos ejemplos en el libro de Vasiliev Topology of complement's of discriminats

Hay un montón de hermosos argumentos de "espacio de moduli" en la geometría algebraica, esto no es de un campo completamente diferente, pero demostrando 27 líneas en la cúbica (teorema muy grueso ) mediante el cálculo de las clases de Chern del haz canónico en $2-4$ Grassmaniano (objeto puramente topológico) es interesante

Hay muchas aplicaciones del álgebra lineal a las construcciones combinatorias, por ejemplo, el contraejemplo de la conjetura de Borsuk o el teorema de Frankl-Wilson

Otro buen ejemplo son las pruebas geométricas estándar de la finitud del grupo de clases ideales.