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Question

¿Cómo probamos que$$\int_{1}^{\infty} \frac{x \cdot 3^x}{(3^x-1)^2} \mathrm{d}x=\dfrac{3\log{3}-2\log{2}}{2\log^2{3}}$ $

He intentado algunas sustituciones como$3^x=t$, pero no funcionó. El denominador ya está factorizado. No sé qué hacer a continuación. Por favor, ayúdame. Gracias.

Answer 1

Integración por partes ($u=x$,$dv=\frac{3^x}{(3^x-1)^2}dx$),$$\int x\frac{3^x}{(3^x-1)^2}dx=x\int\frac{3^x}{(3^x-1)^2}dx-\int\left[\frac{dx}{dx}\int\frac{3^x}{(3^x-1)^2}dx\right]dx$ $

Ahora para$\displaystyle\int\dfrac{3^x}{(3^x-1)^2}dx,$ set$3^x-1=u$

Finalmente$\displaystyle\int\dfrac{dx}{3^x-1},$ set$3^x-1=v$

Answer 2

$\newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\, nº 1 \,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\, nº 1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, nº 1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, nº 1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\pars}[1]{\left (\, nº 1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large Un}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert}$ $\ds{\int_{1}^{\infty}{x\ 3^{x} \\pars{3^{x} - 1}^{2}}\,\dd x ={3\ln\pars{3} - 2\ln\pars{2} \over 2\ln^{2}\pars{3}}:\ {\large ?}}$.

\begin{align}&\color{#c00000}{\int_{1}^{\infty}{\dd x \over \expo{\mu x} - 1}} =\int_{1}^{\infty}{\expo{-\mu x}\,\dd x \over 1 - \expo{-\mu x}} =\left.{\ln\pars{1 - \expo{-\mu x}} \over \mu} \right\vert_{x\ =\ 1}^{x\ \to\ \infty} =-\,{\ln\pars{1 - \expo{-\mu}} \over \mu} \end{align}

Derivado de ambos miembros respecto de $\ds{\mu}$:

\begin{align}&\color{#c00000}{\int_{1}^{\infty}% \bracks{-\,{x\expo{\mu x} \over \pars{\expo{\mu x} - 1}^{2}}}\,\dd x} =-\,{1 \over \mu\pars{\expo{\mu} - 1}} + {\ln\pars{1 - \expo{-\mu}} \over \mu^{2}} \end{align}

Se multiplican ambos miembros por a $\ds{-1}$ y establezca $\ds{\mu = \ln\pars{3}}$:

\begin{align}&\color{#66f}{\large\int_{1}^{\infty}% {x\ 3^{x} \over \pars{3^{x} - 1}^{2}}\,\dd x} ={1 \over \ln\pars{3}\pars{3 - 1}} - {\ln\pars{1 - 1/3} \over \ln^{2}\pars{3}} =\color{#66f}{\large{3\ln\pars{3} - 2\ln\pars{2} \over 2\ln^{2}\pars{3}}} \\[5mm]&\approx {\tt 0.7911} \end{align}