Antes de llegar demasiado lejos, voy a decir que creo que la declaración anterior es incorrecto.
Suponga que $T\in M_{5\times 5}(\mathbb{Q})$,$|T|=8$, y deje $f(x)=x^8-1$. Desde $f(T) = 0$, de ello se sigue que, si $m(x)$ es el polinomio mínimo de a $T$, entonces tenemos que tener en $m(x)$ dividiendo $f(x)=x^8-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)$.
Desde $T\in M_{5\times 5}(\mathbb{Q})$, también debemos tener $\deg(m)\leq 5$, y por lo $m(x)=(x-1)^{e_1}(x+1)^{e_2}(x^2+1)^{e_3}(x^4+1)^{e_4}$, con cada una de las $e_i \in \{0,1\}$. Si $e_4 = 0$,$|T|\leq 4$; por lo $x^4 + 1$ debe dividir $m(x)$. Como el más grande de $T$'s invariante factores, $m(x)$ debe ser divisible por cualquier menor invariante factores; sin embargo, $x^4+1$ es irreducible en a $\mathbb{Q}[x]$. Y así, recordando nuestras restricción en el grado de $m$, debemos tener $m(x) = (x-1)^{e_1}(x+1)^{e_2}(x^4+1)$ donde $e_1+e_2 =1$. (Por cierto, $m(x)=p(x)$, el polinomio característico de a $T$.)
En este punto, mi primera vez por el problema, yo todavía pensaba que me estaba dando la instrucción y quería mostrar una contradicción. Yo no estaba seguro de qué hacer, así, el uso de cada una de las posibles mínima polinomios, me puse a $T$ en forma canónica racional y lo conecté a mi TI-82, elevándola a la octava potencia, y por supuesto tengo la matriz de identidad. Por otra parte, $T^4 \neq I$.
Me he pasado el verano sentirse como un gran estúpido en álgebra, por lo que a pesar de que mi razonamiento parece bastante ajustado a mí, no puedo dejar de pensar que me estoy perdiendo algo. Soy Yo? (La pregunta viene de una qual-preparación del seminario, yo estoy sentado en el sobre.) Si la declaración es falsa, ¿mi lógica de salida? Y qué condiciones se haría una declaración verdadera? No se ve como funciona si $T$ debe tener un orden $6$; parece como si lo hace presionado por $T\in M_{3\times 3}(\mathbb{Q})$ (de nuevo, con $|T|=8$).
