Colector unidimensional no orientable.

Question

Estaba tratando de resolver una pregunta del libro de Hatcher en la sección 3.3.

La pregunta es:

Demuestre que existe una variedad unidimensional no orientable si la condición de Hausdroff se cae de la definición de múltiple.

Sé que la línea real con dos orígenes es una variedad no-Hausdroff de 1 dimensión. Pero no sé cómo mostrar que esto es orientable o no? Apreciaré si alguien me explica esto utilizando la definición de homología local.

Answer 1

Usted puede hacer una "rama", la línea real con el doble de la no-negativo. Usted puede tener las dos ramas de cumplir, y usted tiene un "bucle en una cadena". Esto no es orientable. Más específicamente, tenemos la inconexión de la unión de dos copias de $(\infty, 1]$, dividido por la relación $\sim$ $a\sim b$ fib ambos de los siguientes son satisfechos:

1. $a$ $b$ se encuentran en diferentes componentes
2. Cualquiera de las siguientes satisfecho:
   • $a$ $b$ son negativos y $a = b$
   • $a$ $b$ son no negativos y $a + b = 1$.

Esto le da a algo que se parece a esto:

En el caso de $1$-dimensiones de los colectores, una elección de la orientación es una opción de "hacia atrás" y "hacia delante". En la relación de homología grupo $H_1(M, M\setminus \{x\})\approx \Bbb Z$, para cualquier $1$-colector $M$ punto $x \in M$, los elementos son representados por $1$-cadenas en $M$, y la homología de la cuenta de cuántas veces la cadena pasa a través de $x$, con dirección. Por lo tanto, un generador de la local de homología grupo corresponde decidir qué dirección a través de la $x$ debe ser positiva.

Con eso en mente, aquí es un homológica prueba de que el anterior colector $M$ es no orientable. En primer lugar, algunas convenciones. Voy a utilizar superíndices $^+$ $^-$ para las dos ramas diferentes de la no-negativo de la línea real. Voy a utilizar la notación $(a, b)$ para el singular $1$-de la cadena en $M$ con el punto de partida $a$ y el extremo de $b$, parametrizadas de forma lineal. Tenga en cuenta que no necesariamente tienen $a < b$, y también que uno o ambos de $a$ $b$ podría tener un superíndice.

Tomar la $1$-de la cadena de $(-1, -0.3)$. Representa un generador de $H_1(M, M\setminus \{-0.5\})$ y por lo tanto da una orientación en $-0.5$. El $1$-de la cadena de $(-1, 0.7^+)$ representa el mismo generador, pero esta cadena representa también un generador de $H_1(M, \{0.5^+\})$, y por lo tanto nos da compatible orientaciones en los dos puntos de $-0.5$$0.5^+$.

El $1$-de la cadena de $(0.3^+, 0.7^+)$ representa el mismo elemento en $H_1(M, \{0.5^+\})$, y por lo tanto da la misma orientación. La traducción a la otra rama, tenemos que $(0.7^-, 0.3^-)$ representa un generador de $H_1(M, M\setminus \{0.5^-\})$. Esto es solo una traducción, así que todavía tienen la misma orientación.

En $H_1(M, M\setminus \{0.5^-\})$, la cadena de $(0.7^-, 0.3^-)$ representa el mismo generador como $(0.7^-, -1)$. Aquí viene el no orientability: Esta cadena representa el mismo generador de $H_1(M, M\setminus\{-0.5\})$ no $(-0.3, -1)$, que es el negativo de la cadena empezamos con $(-1, -0.3)$.

Para recapitular, se optó por una $1$-de la cadena de $(-1, 0.7^+)$ que genera el local de homología en $-0.5$, y ver que el generador de la cadena representa en $0.5^+ = 0.5^-$. Luego tomamos otro $1$-de la cadena de $(0.7^-, -1)$ que representa el mismo generador en $0.5^\pm$, pero otro generador en $-0.5$ (hemos utilizado un par de cadenas intermedias, pero no es realmente necesario). Por tanto, no es coherente elección de los generadores de los locales de la homología de grupos, y el colector es no orientable.