Extensiones de operadores de rango finito

Question

Permita que$V$ sea un espacio vectorial y permita que$W$ sea su subespacio de codimension infinita. Permita que$\mathcal{F}_W$ sea la familia de todos los operadores de rango finito en$V$ con rango incluido en$W$. Considere el ideal del lado izquierdo en$\mathcal{L}(V)$ generado por$\mathcal{F}_W$. ¿Este ideal contiene todos los operadores de rango finito en$V$?

Answer 1

Si usted considerar la posibilidad de infinitas dimensiones espacio vectorial $V$, y el subespacio cero $W=\{0\}\subset V$ que obtendría el deseado contraejemplo.

A partir de ahora consideramos el caso más interesante se $\operatorname{dim}W=+\infty$. Deje $E=\{e_\lambda: \lambda\in\Lambda\}$ ser algunos Hamel base de $V$. A continuación, para cada una de las $v\in V$ existen un número finito de la suma de la representación $$ v=\sum\limits_{\lambda\en\Lambda} v_\lambda e_\lambda $$ Ahora nos dotar $V$ con la estructura de producto interior en el espacio. Por definición, tomamos $$ \langle v_1,v_2\rangle=\sum\limits_{\lambda\en\Lambda} v_{1,\lambda}\overline{v_{2,\lambda}} $$ Para cada una de las $v_1,v_2\in V$ $v_1\bigcirc v_2$ definimos el rango de un operador en $V$ por la igualdad $$ v_1\bigcirc v_2 : V\V: v\mapsto\langle v, v_2\rangle v_1 $$ Es fácil comprobar que para todos los $a\in \mathcal{L}(V)$, $v_1,v_2\in V$ tenemos $$ un\circ(v_1\bigcirc v_2)=a(v_1)\bigcirc v_2,\qquad (v_1\bigcirc v_2)\circ=v_1\bigcirc^*(v_2) $$ Además, para todos los $s_1,s_2\in\mathbb{C}$ $v_1,v_2,v\in V$ hemos $$ (s_1 v_1+s_2 v_2)\bigcirc v = s_1(v_1\bigcirc v)+s_2(v_2\bigcirc v) $$ $$ v\bigcirc(s_1 v_1+s_2 v_2)=\overline{s_1} (v\bigcirc v_1)+\overline{s_2}(v\bigcirc v_2) $$ Tome $a\in\mathcal{F}(V)=\mathcal{F}(V,V)$, entonces no existe $\{v_{1,k}:k=\overline{1,n}\}\subset V$, $\{v_{2,k}:k=\overline{1,n}\}\subset V$ y $\{s_k:k=\overline{1,n}\}\subset\mathbb{C}$ tal que $$ a=\sum\limits_{k=1}^n s_k (v_{1,k}\bigcirc v_{2,k}) $$ A partir de la linealidad de la $\bigcirc$ funcionamiento en el primer argumento se sigue que no puede asumir que los vectores $\{v_{1,k}:k=\overline{1,n}\}\subset V$ son linealmente independientes. Desde $\operatorname{dim}W=+\infty$ existe una linealmente independientes de la familia $\{w_k:k=\overline{1,n}\}\subset W$. Definimos un operador lineal $b\in\mathcal{F}(W,V)$ por las igualdades $b(w_k)=v_k$$k=\overline{1,n}$$b(v)=0$$v\in\operatorname{span}\{w_k:k=\overline{1,n}\}^{\perp}$. Entonces no existe $c=\sum\limits_{k=1}^n s_k (w_{k}\bigcirc v_{2,k})\in\mathcal{F}(V,W)$ tal que $$ b\circ c= b\circ \left(\sum\limits_{k=1}^n s_k (w_{k}\bigcirc v_{2,k})\right)= \sum\limits_{k=1}^n s_k b\circ (w_{k}\bigcirc v_{2,k})= $$ $$ \sum\limits_{k=1}^n s_k (b(w_{k})\bigcirc v_{2,k})= \sum\limits_{k=1}^n s_k (v_{1,k}\bigcirc v_{2,k})=a $$ Por tanto, para todos $a\in\mathcal{F}(V)$ existe $b\in\mathcal{F}(W,V)\subset\mathcal{L}(V)$ $c\in\mathcal{F}(V,W)$ tal que $a=b\circ c$. Por lo tanto, $\mathcal{F}(V)\subset\mathcal{L}(V)\cdot \mathcal{F}(V,W)$