Teorema del valor medio: encontrar dos números en el mismo intervalo

Question

Deje$f,g:[0,1] \to \mathbb{R}$ tal que$f'(x)>0,\ g'(x) >0,\ \forall x\in [0,1]$. Además,$f(0)= g(0)$ y$f(1)=g(1)$. Demuestre que existe$x_1, x_2 \in [0,1]$ tal que$$f(x_1) = g(x_2), \ \text{and}\ \ f'(x_1) = g'(x_2)$ $

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Intenté utilizar el teorema del valor medio con:

un) $h(x)= f(x)-g(x)$

b)$h(x) = f(x) - xg(x)$

c)$h(x) = f(x)g(x)$

d) Usar$g(1-x)$ en vez de$g(x)$

Pero nada parece ayudar a encontrar al menos uno de$x_1$ o$x_2$. Creo que, encontrar uno de ellos, el otro podría ser fácil de conseguir.

¡Gracias por la ayuda!

Answer 1

Estrategia: hay un montón de pares de $x_1,x_2$ tal que $f(x_1)=g(x_2)$: acaba de tomar cualquier $y\in[0,1]$ y la fuerza de $f(x_1)=y$ $g(x_2)=y$ - en otras palabras, establecer$x_1=f^{-1}(y)$$x_2=g^{-1}(y)$. Así que vamos a usar que parametrización para el estudio de los géneros $f'(x_1)=g'(x_2)$.

Prueba: tenga en cuenta que $f(f^{-1}(y)) = y = g(g^{-1}(y))$ todos los $y\in[0,1]$. Por la regla de la cadena, $$ f'(f^{-1}(y)) \frac d{dy}f^{-1}(y) = g'(g^{-1}(y)) \frac d{dy}g^{-1}(x) \etiqueta{1} $$ para todos los $y$.

Set$a=f(0)=g(0)$$b=f(1)=g(1)$. Tenga en cuenta que$f^{-1}(a) = 0 = g^{-1}(a)$$f^{-1}(b) = 1 = g^{-1}(b)$. Por lo tanto, por el valor medio teorema (de hecho, el teorema de Rolle) que se aplica a $f^{-1}-g^{-1}$ en el intervalo de $[a,b]$ existe $y_0\in(a,b)$ tal que $\frac d{dy}f^{-1}(y_0) = \frac d{dy}g^{-1}(y_0)$.

Por lo tanto, por (1), $f'(f^{-1}(y_0)) = g'(g^{-1}(y_0))$. Ahora establezca $x_1 = f^{-1}(y_0)$$x_2 = g^{-1}(y_0)$.

Answer 2

Sugiero que mires$h(x) = g^{-1}(f(x))$. Supongamos que para algún número$x_1$,$h'(x_1) = 1$. ¿Qué te diría eso?

Además: ¿Cómo sabes que$g^{-1}$ existe? Debe responder esto antes de usarlo de cualquier manera.