Probabilidad de 3 caras en 10 lanzamientos de moneda

Question

¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 caras y 7 colas si se lanza una moneda justa 10 veces? No consigo averiguar cómo modelar esto correctamente.

Answer 1

Su pregunta está relacionada con el distribución binomial .

Lo haces $n = 10$ ensayos. La probabilidad de un ensayo exitoso es $p = \frac{1}{2}$ . Usted quiere $k = 3$ éxitos y $n - k = 7$ fallos. La probabilidad es:

$$ \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = \binom{10}{3} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{3} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{7} = \dfrac{15}{128} $$

Una forma de entender esta fórmula: Usted quiere $k$ éxitos (probabilidad: $p^k$ ) y $n-k$ fallos (probabilidad: $(1-p)^{n-k}$ ). Los éxitos pueden ocurrir en cualquier parte de las pruebas, y hay $\binom{n}{k}$ para organizar $k$ éxitos en $n$ ensayos.

Answer 2

Construimos un modelo matemático del experimento. Escribe H para cabeza y T para cola. Registra los resultados de los lanzamientos como una cadena de longitud $10$ , formado por las letras H y/o T. Así, por ejemplo, la cadena HHHTTHHTHT significa que tenemos una cabeza, luego una cabeza, luego una cabeza, luego una cola, y así sucesivamente.

Hay $2^{10}$ tales cadenas de longitud $10$ . Esto se debe a que tenemos $2$ opciones para la primera letra, y para cada elección de este tipo tenemos $2$ opciones para la segunda letra, y para cada elección de las dos primeras letras, tenemos $2$ opciones para la tercera letra, y así sucesivamente.

Porque asumimos que la moneda es justa, y que el resultado que obtenemos en, digamos, la primera $6$ lanzamientos no afecta a la probabilidad de obtener una cabeza en el $7$ -a la hora de lanzar, cada uno de estos $2^{10}$ ( $1024$ ) es igualmente probable . Como las probabilidades deben sumar $1$ cada cadena tiene una probabilidad $\frac{1}{2^{10}}$ . Así, por ejemplo, el resultado HHHHHHHH es tan probable como el resultado HTTHHTHTHT. Esto puede tener una sensación intuitivamente inverosímil, pero se ajusta muy bien a los experimentos.

Ahora supongamos que seremos felices sólo si obtenemos exactamente $3$ cabezas. Para hallar la probabilidad de que seamos felices, se cuenta el número de cuerdas que nos harán felices. Supongamos que hay $k$ tales cadenas. Entonces la probabilidad de que seamos felices es $\frac{k}{2^{10}}$ .

Ahora tenemos que encontrar $k$ . Así que tenemos que cuenta el número de cadenas que tienen exactamente $3$ H's. Para ello, encontramos el número de formas de elija donde las H se producirán. Así que debemos elegir $3$ lugares (de la $10$ disponible) para que los H sean.

Podemos elegir $3$ objetos de $10$ en $\binom{10}{3}$ formas. Este número recibe también otros nombres, como $C_3^{10}$ o ${}_{10}C_3$ o $C(10,3)$ Y también hay otros nombres. Se denomina coeficiente binomial porque es el coeficiente de $x^3$ cuando la expresión $(1+x)^{10}$ se amplía.

Hay una fórmula útil para los coeficientes binomiales. En general $$\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}.$$

En particular, $\binom{10}{3}=\frac{10!}{3!7!}$ . Esto resulta ser $120$ . Por lo tanto, la probabilidad de que exactamente $3$ cabezas en $10$ lanzamientos es $\frac{120}{1024}$ .

Observación: La idea puede generalizarse sustancialmente. Si lanzamos una moneda $n$ veces, y la probabilidad de una cabeza en cualquier lanzamiento es $p$ (que no tiene por qué ser igual a $1/2$ la moneda podría ser injusta), entonces la probabilidad de que exactamente $k$ cabezas es $$\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}.$$ Este modelo de probabilidad se denomina Distribución binomial . Es de gran importancia práctica, ya que subyace a todos los sondeos simples de sí/no.

Answer 3

Usted está buscando

$$\frac{\text{Number of Relevant Outcomes}}{\text{Number ofTotal Outcomes}}.$$

El número de resultados totales es $2^{10}$ . El número de resultados relevantes es el número de maneras en que se pueden obtener exactamente tres caras en una cadena de 10 lanzamientos de monedas, o ${10}\choose{3}$ . Así que la respuesta es

$$\frac{{10}\choose{3}}{2^{10}}.$$

Answer 4

Si los quiere en ese orden, entonces $\dfrac{1}{2^{10}} =\dfrac{1}{1024}$

Si el orden no importa, entonces ${10 \choose 3}\times \dfrac{1}{2^{10}}=\dfrac{120}{1024} =\dfrac{15}{128}$

Answer 5

Hay que modelar esto con una distribución binomial, con $n=10$ y $p=0.5$ .