Demuestre que una función continua con una propiedad integral determinada debe ser f (x) = x.

Question

Estoy estudiando para los quals en enero y estoy trabajando en el siguiente problema:

Permita que$f:[0,1] \to [0,1]$ sea una función continua con la propiedad de$\displaystyle\int_0^1 f(x)x^n \, \textrm{d}x = \dfrac{1}{n+2}$. Muestra esa $f(x)\equiv x$.

Estaba pensando en hacer la integración por partes, pero esto no parece dar nada. ¡Cualquier sugerencia sería muy apreciada!

Answer 1

Considere$g(x)=f(x) -x$, luego $$ \ int g (x) p (x) dx = 0 $$ para cada polinomio$p$. Ahora, por la aproximación de Weierstrass, y la continuidad de la integral, se deduce que $$ \ int g ^ 2 (x) dx = 0 $$ Como$g$ es continuo, se deduce que$g \equiv 0$.

Answer 2

Yo diría, (a) Demuestre por$f$ polinomio. (b) utilice Stone-Weierstrass para aproximarse por polinomios, y luego use (a) para mostrar que los coeficientes distintos del término lineal son arbitrariamente pequeños.

Answer 3

Tal vez esto ayude ...$$(n+2)\int_0^1f(x)x^ndx=1$ $ Then$$\int_0^1(n+2)f(x)x^ndx=1$ $ Puede ver la regla de alimentación incrustada allí, excepto que$x^n$ necesitaría ser$x^{n+1}$. Entonces, ¿qué debe ser$f(x)$?