Duda sobre la proposición 2.39 del libro de productos cruzados de Dana Williams

Question

Puede ver la propuesta en una vista previa de Google Books aquí . En primer lugar, mi pregunta es:

Pregunta: ¿Es correcto interpretar la Proposición 2.39 como el establecimiento de una correspondencia biyectiva entre

• El conjunto de homomorfismos covariantes no degenerados $(\pi,u) : (A,G,\alpha) \to \mathcal{L}(X)$ .
• El conjunto de homomorfismos no degenerados $L : A \rtimes_\alpha G \to \mathcal{L}(X)$ .

enviando cada $(\pi,u)$ a $L = \pi \rtimes u$ y enviando cada $L$ a la $(\pi,u)$ definido por $\pi(a) = \overline{L}(i_A(a)), u_s = \overline{L}(i_G(s))$ para todos $a \in A, s \in G$ .

Realmente no tengo una razón matemática para dudar de que esta lectura sea correcta. Mis razones son ligeramente meta, así que espero hacerme entender. La Proposición 2.40 que sigue a continuación parece ser, en parte, un corolario, en el que la Hilbert $B$ -Módulo $X$ se considera un espacio de Hilbert.

Ahora bien, en la Proposición 2.40 Williams afirma explícitamente que se está estableciendo una correspondencia biyectiva, mientras que en la Proposición 2.39 esto sólo está implícito. Eso en sí mismo no sería suficiente para hacer que me asuste, pero, eche un vistazo al primer párrafo de la prueba de la Proposición 2.40.

"La proposición 2.39 en la página opuesta muestra que el mapa $(\pi,U) \mapsto \pi \rtimes U$ es una suryección. Es uno a uno en vista de las ecuaciones (2.21) y (2.27)".

No entiendo la necesidad de la referencia a las ecuaciones (2.21) y (2.27). ¿No demuestra ya la Proposición 2.40 que tenemos una biyección?

Answer 1

Dejemos que $ (A,G,\alpha) $ ser un $ C^{*} $ -sistema dinámico. Sea $ B $ ser un $ C^{*} $ -y fijar un Hilbert $ B $ -Módulo $ \mathsf{X} $ que servirá de espacio de representación. La proposición 2.39 dice entonces que la asociación \begin {align} \{ \text {Representaciones covariantes de $ (A,G,\alpha) $ en $ \mathsf{X} $ } \} & \to \{ \text { $ * $ -representaciones de $ A \rtimes_{\alpha} G $ en $ \mathsf{X} $ } \} \\ ( \pi ,U) & \mapsto \pi \rtimes_ { \alpha } U \end {alinear} es suryente, donde las representaciones covariantes y $ * $ -se supone implícitamente que las representaciones no son degeneradas. Más precisamente, la proposición dice que si $$ L: A \rtimes_{\alpha} G \to \mathcal{L}(\mathsf{X}) $$ es un $ * $ -representación de $ A \rtimes_{\alpha} G $ en $ \mathsf{X} $ entonces $ L = \pi \rtimes_{\alpha} U $ , donde $ \pi = \bar{L} \circ i_{A} $ y $ U = \bar{L} \circ i_{G} $ .

( Nota: $ \bar{L} $ es la extensión canónica de $ L $ a $ M(A \rtimes_{\alpha} G) $ y $ i_{A} $ y $ i_{G} $ son, respectivamente, las inclusiones canónicas de $ A $ y $ G $ en $ M(A \rtimes_{\alpha} G) $ .)

Nótese que la proposición no implica que la asociación descrita sea inyectiva. Por lo que sabemos, bien podría haber otra representación covariante $ (\rho,V) $ de $ (A,G,\alpha) $ en $ \mathsf{X} $ tal que $ L = \rho \rtimes_{\alpha} V $ . Afortunadamente para nosotros, las ecuaciones 2.21 y 2.27 descartan esta posibilidad.

Para ver cómo funcionan estas dos ecuaciones para establecer la inyectividad, supongamos que $ (\pi,U) $ es una representación covariante de $ (A,G,\alpha) $ en $ \mathsf{X} $ . Dejar $ L = \pi \rtimes_{\alpha} U $ Las ecuaciones 2.21 y 2.27 dan como resultado, respectivamente \begin {align} \forall a \in A, ~ \forall \phi \in {C_{c}}(G,A): \quad & L([{i_{A}}(a)]( \phi )) = \pi (a) \circ L( \phi ), \\ \forall g \in G, ~ \forall \phi \in {C_{c}}(G,A): \quad & L([{i_{G}}(g)]( \phi )) = U_{g} \circ L( \phi ), \end {align} donde $ {C_{c}}(G,A) $ se está viendo como una densa $ * $ -subálgebra de $ A \rtimes_{\alpha} G $ . Como $ L $ es una no-degenerada $ * $ -representación, el conjunto $$ \{ [L(\phi)](x) \mid \phi \in {C_{c}}(G,A) ~ \text{and} ~ x \in \mathsf{X} \} $$ es denso en $ \mathsf{X} $ . De ello se desprende que $ \pi(a) $ y $ U_{g} $ se determinan de forma única para cada $ a \in A $ y cada $ g \in G $ . Por lo tanto, $ (\pi,U) $ es la única representación covariante de $ (A,G,\alpha) $ en $ \mathsf{X} $ cuya forma integrada es $ L $ .