Una camisa con la marca de una fórmula.

Question

Antes de que comenzara el estudio de las matemáticas, un amigo mío me compró una camiseta con la impronta de una fórmula. Yo no sé lo que estos personajes eran y no tenía ganas de pensar en ella. Ayer, he limpiado mi armario y encontré esta camisa (Después de tres años de estudio de las matemáticas). Miré a esta fórmula de nuevo y se dio cuenta de que esta fórmula ha sido una de las series, es decir,

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} z^2\right)\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\left(-1\right)^n \pi^{2n +1} z^{4n +3} }{1 \cdot 3 \cdots\left(4n + 3\right)} = ?$$

No sé si $z$ debe ser un complejo o un número real. También que no puedo averiguar si esta serie converge o no.

Mi pregunta:

Es este un conocido de la serie? ¿Esta serie converge?

Gracias de antemano.

Answer 1

Como$~(4n+3)!!~=~\dfrac{(4n+3)!}{(4n+2)!!}~=~\dfrac{(4n+3)!}{(2n+1)!}\cdot\dfrac1{2^{2n+1}}~$ y$~\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n+1)!}{(4n+3)!}~(2x)^{4n+3}=\dfrac{\sqrt\pi}2\cdot$

$\cdot\Big(e^{x^2}~\text{erf }x-e^{-x^2}~\text{erfi }x\Big),~$ se sigue de la fórmula de Euler que nuestra serie infinita, para empezar

en$n=0$, sería igual$~C(z)~\sin\bigg(\dfrac\pi2~z^2\bigg)-S(z)~\cos\bigg(\dfrac\pi2~z^2\bigg),~$ donde C y S son los dos

Integrales de Fresnel

Answer 2

El denominador es$\prod_{k=0}^n(4k+3) > 4^n n!$, por lo que (por ejemplo) en comparación con la serie para el exponencial, esta serie de potencia tiene un radio infinito de convergencia.

Confluye para todos$z\in\mathbb{C}$. La función definida por esta serie en sí misma, sin embargo, no se conoce, para mí.