Composición de casi todas las funciones continuas$\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$

Question

Si$f,g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ son continuos, es bien sabido que la composición$f\circ g$ también es continua.

Pero, ¿qué sucede si suponemos que$f,g$ son solo en casi todas partes continuas? ¿La composición también es casi en todas partes continua?

La pregunta Composición de casi todas las funciones diferenciables me hace creer que la respuesta es negativa, pero no puedo proporcionar un contraejemplo para el caso$f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$.

Answer 1

Ejemplo: tomar$g$ la función Thomae,$f$ la función$x \mapsto x^{-1}$ extendida en$0$ por$f(0)=0$.

Answer 2

Podemos tomar $g$ a ser un homeomorphism de $\mathbb {R}$ a $\mathbb {R}.$ Deje $K$ ser un subconjunto compacto de $\mathbb {R},$ $m(K) >0,$ no tener interiores (una "grasa conjunto de Cantor"). Definir

$$g(x) = \int_0^x d(t,K)\,dt,$$

donde $d(t,K)$ es la distancia de $t$ $K.$Como es bien sabido, $d(t,K)$ es continuo, por lo tanto $g$ $C^1.$ $d(t,K)> 0$ $t\in \mathbb {R}\setminus K,$ que es denso en $\mathbb {R}.$ Se sigue que $g$ es estrictamente creciente. Tenemos $g\to \infty$ $\infty,$ $g\to -\infty$ $-\infty.$ $g$ $C^1$ homeomorphism de $\mathbb {R}$ a $\mathbb {R}.$

Ahora $g'(x) = 0$ todos los $x\in K.$ Por un conocido resultado, $m(g(K))=0.$ Definir $f= \chi_{g(K)}.$ $f$ es continua.e. Deje $x \in K.$, Entonces hay una secuencia $x_n$ $\mathbb {R}\setminus K$ tal que $x_n\to x.$ $g(x_n) \not \in g(K)$ todos los $n,$ $f\circ g (x_n) = 0$ todos los $n.$ Pero $f\circ g (x) = 1.$ $f\circ g$ es discontinua en cada punto de $K.$