solucionando el sistema de 2 ecuaciones

Question

¿Hay alguna manera agradable / elegante de resolver este sistema de ecuaciones?

$\left\{\begin{matrix} 2x^2+xy+y^2=28 & \\ x^2-xy+2y^2=32 & \end{matrix}\right.$

Puedo resolverlo aislando una de las variables, pero es demasiado complicado.

¡Gracias!

Answer 1

Hay una manera general de resolver tales ecuaciones homogéneas.

Primero tenga en cuenta que$x=0$ no proporciona una solución. Ahora elija$m=\dfrac{y}x$, de modo que$y=mx$. Tus dos ecuaciones se vuelven,

$ x ^ 2 (2 + m + m ^ 2) = 28 \\ x ^ 2 (1-m + 2m ^ 2) = 32 $

Dividiendo los dos, obtenemos:

\begin{align} &\dfrac{2+m+m^2}{1 -m+2m^2}=\dfrac78\\ &\iff 2m^2-5m-3=0\\ &\iff (2m+1)(m-3)=0. \end{align}

Para$m=-\dfrac12$,$x^2=16$, mientras que para$m=3$, obtenemos$x^2=2$.

Por lo tanto,$(x,y) \in\{\,(4,-2),\,(-4,2),\,(\sqrt2,3\sqrt2),\,(-\sqrt2,-3\sqrt2)\,\}$.

Answer 2

Intente agregar una ecuación a la otra: eqn. 1 + eqn.2 \begin{align*} (2x^2 + xy + y^2) + (x^2 - xy + 2y^2) &= 28 + 32\\ 3x^2+3y^2 &= 60\\ x^2 + y^2 &=20\tag{*} \end {align *}

Y del álgebra lineal ahora, que los puntos$[x,y] \in \mathbb{R}^2$ que satisfacen (*) están ubicados en un círculo con centro en$[0,0]$ y radio$\sqrt{20}$.

Porque la ecuación general para un círculo en el plano es $$ (x-x_0) ^ 2 + (y-y_0) ^ 2 = r ^ 2. $$

Donde$[x_0,y_0] \in \mathbb{R}^2$ es el centro del círculo y$r$ es radio.