¿Existe un modelo natural de aritmética de Peano en el que falle el teorema de Goodstein?

Question

Teorema de Goodstein es la afirmación de que toda sucesión de Goodstein llega finalmente a 0. Se sabe que es independiente de la Aritmética de Peano (PA) y, de hecho, fue el primer resultado de este tipo puramente teórico de números. Es demostrable en ZFC.

Una forma de expresarlo es que la teoría "PA + el teorema de Goodstein es falso" es consistente (suponiendo que PA lo sea).

Por el teorema de completitud de Godel, debe existir un modelo de AP en el que falle el teorema de Goodstein. De hecho, aplicando el teorema descendente de Lowenheim-Skolem, podemos suponer que este modelo es contable.

Sin embargo, para hablar de este resultado a un grupo de estudiantes de posgrado (de intereses diversos), me gustaría hacerlo al revés. Así pues,

¿existe algún modelo no estándar contable conocido, obvio o fácil de construir de $PA$ en las que falla el teorema de Goodstein?

Para responder a esto, estoy dispuesto a aceptar los teoremas "fundacionales" de la lógica de primer orden: los resultados de completitud y compacidad de Godel, el teorema de Lowenheim-Skolem.

Este es el tipo de respuesta que realmente me gustaría: Hay una colección contable explícita $\Sigma = \{\phi_n\}$ de frases de primer orden (posiblemente en un lenguaje ligeramente más amplio) tales que $\mathbb{N}$ es un modelo de $PA + \Sigma_0$ para cualquier $\Sigma_0\subseteq \Sigma$ y tal que $PA + \Sigma$ implica que el teorema de Goodstein es falso.

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Un enfoque que se me ha ocurrido es ampliar primero el lenguaje añadiendo un símbolo constante c. A continuación, dejemos que $\phi_n$ sea la afirmación "La secuencia de Goodstein para $c$ tarda más de "n" pasos en terminar". (Aunque personalmente no sé cómo codificar "la secuencia de Goodstein para $c$ " en lenguaje de primer orden, estoy seguro de que se puede hacer, pues de otro modo, ni siquiera se podría formular "PA demuestra que la sucesión de Goodstein converge").

En este caso, $\mathbb{N}$ es un modelo de cualquier $PA + \Sigma_0$ simplemente estableciendo c = n+1, donde n es el mayor subíndice de a $\phi_k$ en $\Sigma_0$ (que existe porque $\Sigma_0$ es finito).

Por los teoremas de Godel y Lowenheim-Skolem, $PA + \Sigma$ tiene un modelo contable $M$ . Entonces la interpretación de $c$ en este modelo satisface $\phi_n$ para todos $n$ por lo que la sucesión de Goodstein no termina para $c$ en este modelo.

Sin embargo, dado que la independencia del teorema de Goodstein era tan difícil de demostrar, estoy bastante seguro de que hay un error en esta línea de razonamiento (aunque no sé dónde). Me encantaría que alguien lo corrigiera.

Como siempre, siéntase libre de reetiquetar cuando sea necesario, ¡y gracias por las respuestas!

Answer 1

Aquí está el fallo del argumento de la compacidad que has esbozado. En el modelo que construyes, la interpretación de $c$ será efectivamente un número no estándar cuya sucesión de Goodstein no se detiene en un número estándar de pasos. Pero el teorema de Goodstein tiene un cuantificador universal para el número de pasos, por lo que también se permiten "secuencias de Goodstein" no estándar. Es decir, cuando el teorema dice "hay una secuencia finita", en un modelo particular esa secuencia "finita" podría tener la longitud de un número no estándar, que no puede ser excluido por la secuencia de frases en su argumento.

Una forma de encontrar una extensión de PA en la que el teorema de Goodstein sea demostrable es añadir suficiente inducción transfinita a PA para formalizar la demostración habitual del teorema de Goodstein. Los detalles de cómo hacerlo no están tan mal, aunque pueden llevar demasiado tiempo para una clase elemental.