Cómo minimizar$|z_1 - z_2|^2 + |z_1 - z_4|^2 + |z_2 - z_3|^2 + |z_3 - z_4|^2$?

Question

Si$z_1,z_2,z_3,z_4 \in \mathbb{C}$ satisface $ z_1 + z_2 + z_3 + z_4 = 0$ and $ | z_1 | ^ 2 + | z_2 | ^ 2 + | z_3 | ^ 2 + | z_4 | ^ 2 = 1$, then the least value of $ | z_1 - z_2 | ^ 2 + | z_1 - z_4 | ^ 2 + | z_2 - z_3 | ^ 2 + | z_3 - z_4 | ^ 2$ is $ 2 $.

Lo resolví tomando dos de los valores para ser$\frac{1}{2}$ y otros dos como$-\frac{1}{2}$. Pero no pude probar esto de una manera eficiente.

Answer 1

Permita que$\vec w$ se relacione con$\vec z$ con la transformación de Hadamard autoinverse:

$$ H = \ frac {1} {\ sqrt4} \begin{pmatrix} 1&1&1&1\\ 1&1&-1&-1\\ 1&-1&1&-1\\ 1&-1&-1&1 \end {pmatrix} $$

Entonces$w_1 = 0$, es decir, hemos reducido el problema a tres dimensiones. $H$ es unitario así que$|\vec w|^2 = |\vec z|^2 = 1$.

Veamos ahora los términos de la función objetivo.

$$z_1-z_2 = w_3+w_4$ $$$z_1-z_4 = w_2+w_3$ $$$z_2-z_3 = w_2-w_3$ $$$z_3-z_4 = w_3-w_4$ $

Entonces:

$$|z_1-z_2|^2+|z_1-z_4|^2 = 2(|w_3|^2+|w_4|^2)$ $$$|z_2-z_3|^2+|z_3-z_4|^2 = 2(|w_3|^2+|w_2|^2)$ $

Entonces, la función objetivo es igual a$2+2|w_3|^2$.

Answer 2

Definitivamente no es más eficiente, pero aquí va de todos modos:

Vamos $z \in \mathbb{C}^4$, $e=(1,...,1)^T$, $A= \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.

Entonces el problema es $\min \{ \|Az\|^2 \ | \ e^T z = 0, \|z\|^2 = 1 \}$. Algunos tedioso multiplicación muestra que $A^* A = A A^*$, lo $A$ es unitarily diagonalizable, y $\ker A = \operatorname{sp} \{ e \}$.

Desde $A$ es unitarily diagonalizable, podemos escribir $A z = \sum_{k=1}^3 \lambda_k (u_k^* z ) u_k$, donde el $\lambda_k$ son no-cero, el $u_k$ son ortonormales, y $u_k^* e = 0$ todos los $k$. Además, $\|A z\|^2 = \sum_{k=1}^3 |\lambda_k|^2 |u_k^* z|^2$. Si dejamos $\sigma = \min_k |\lambda_k|^2$, tenemos $\|A z\|^2 \ge \sigma\sum_{k=1}^3 |u_k^* z|^2$. Si $e^T z = 0$,$z \in \operatorname{sp} \{ u_1, u_2, u_3\}$, y por lo $\sum_{k=1}^3 |u_k^* z|^2 = \|z\|^2$.

Por lo tanto, si $e^T z = 0$,$\|A z\|^2 \ge \sigma \|z\|^2$, y si $u$ es el vector propio que corresponde a $\sigma$, luego tenemos a $\|Au\|^2 = \sigma \|u\|^2$.

Por lo tanto el valor mínimo es el cuadrado del módulo de la más pequeño distinto de cero autovalor de a $A$, y el de la unidad correspondiente autovector es un minimizer.

Tenemos $\chi_A(s) = x(x-2)(x^2-2x+2)$, por lo tanto el cero autovalores son $2, 1\pm i$, y así tenemos el $\sigma = 2 = |1\pm i|^2$. El correspondiente vector propio es $(i,-1,-i,1)^T$, por lo tanto, un minimizer es $z = \frac{1}{2}(i,-1,-i,1)^T$.

Answer 3

Derive el respeto$z_{i}^{*}$ con las condiciones$\sum_{i}z_{i}^{*} = 0$ y$\sum_{i}z_{i}^{*}z_{i} - 1 = 0$ mediante el uso de multiplicadores de Lagrange. De esta manera, obtenemos los valores de$\left\lbrace z_{i}\right\rbrace$. Enchufe estos valores en la expresión para obtener el mínimo.

Answer 4

Supongo que escribir en términos de vectores lo hace más fácil. Permita que$A,B,C,D$ sea puntos en$\mathbb C$ con afijos$z_1,z_2,z_3,z_4$. Escribir $a=\vec{OA}, b=\vec{OB}, c=\vec{OC}, d=\vec{OD}$.

Entonces tenemos$\displaystyle\sum_{cyc}a\cdot a=1$ y$\displaystyle\sum_{cyc}a=0$. Sorprendentemente,$$\begin{aligned}\sum_{cyc}|z_1-z_2|^2&=\sum_{cyc}(\vec{OA}-\vec{OB})\cdot(\vec{OA}-\vec{OB})=\sum_{cyc}(a\cdot a + b\cdot b - 2a\cdot b).\\&=2-2(a\cdot b + b\cdot c + c\cdot d + d\cdot a)\\&=2-2\Bigl\{a\cdot b + b\cdot c + c\cdot (-a-b-c)+ a\cdot (-a-b-c)\Bigr\}\\& = 2+2(a\cdot a+2a\cdot c + c\cdot c)\\& = 2+2(a+c)\cdot(a+c)=2+2|z_1+z_3|^2.\end{aligned}$ $

Esto es mínimo cuando$z_1=-z_3, z_2=-z_4, |z_1|^2+|z_2|^2=\frac 12. \ \ \Box$