Estoy teniendo problemas para entender cómo puede ser lo suficientemente muchos elementos distintos para $\mathbb{R}$ a existir con sus propiedades y, aun así, ser un conjunto.
( --verbose Explicación que sigue incluye todos los bits que los amigos no lo entienden de inmediato – solo salto hacia adelante una vez que tienes la idea de cada sección.)
1. los conjuntos de árboles
Recordemos que los conjuntos son esencialmente lo mismo (raro), los árboles, y todo puede ser codificado como se establece: $\newcommand{\set}[1]{\{#1\}}$ $\newcommand{\sO}{\emptyset}$ $\newcommand{\sSO}{\set{\sO}}$ $\newcommand{\sSSO}{\set{\sO,\sSO}}$ $\newcommand{\sSSSO}{\set{\sO,\sSO,\sSSO}}$ $\newcommand{\sSSSSO}{\set{\sO,\sSO,\sSSO,\sSSSO}}$
Este árbol/set podría representar $\set{\sO,\set{\sSSO},\sSSSSO}$ o $\set{\sO,\set{2},\set{0,1,2,3}}$ o $\set{\sO,\set{(0,0)}, 4}$ o ... – en realidad no importa. Y el de la izquierda aquí...
...en realidad es el mismo conjunto como el de la derecha, porque las ramas de 2, 4 y 6 de la raíz en realidad son el mismo elemento. (Sólo que buscar diferentes, ya que se muestran con "elementos duplicados", que no es cuestión de mirar el "triángulo" en el extremo de la izquierda del conjunto de rama derecha: representa $\set{\sO,\sO}$, que en realidad es sólo $\set{\sO}$. Usted puede mantener la disección de cosas manualmente para identificar los elementos reales y deshacerse de los "fantasmas"... pero no es necesario:)
2. delimitado el tamaño de la limitada profundidad
Hay una manera más fácil de demostrar que el ejemplo anterior no puede ser tan grande: Mira la "profundidad" / rango del árbol – se limita el número de elementos posibles, y por lo tanto el número posible de elementos. Aquí todos los conjuntos de profundidad en la mayoría de las $d$:
(...y así sucesivamente, dando en la mayoría de los 1, 2, 4, 16, 65536, 20[...19725 otros dígitos...]36, ... elementos.)
El ejemplo en la imagen anterior tiene profundidad de tres, lo que significa que todos sus elementos tienen profundidad en la mayoría de los dos, por lo que hay en la mayoría de los 4 diferentes elementos disponibles para formar el conjunto. Esto significa que el conjunto de la izquierda no se puede tener ", afirmó el" tamaño de 6, pero realmente puede contener un máximo de 4 (distinta) de los elementos. Así que no se moleste en mirar los elementos en detalle para obtener un límite superior en el tamaño, todo lo que necesitamos saber es (un límite) de la profundidad.
3. el axioma de regularidad / no infinito $\in$-cadena de
El axioma de regularidad implica que no se tiene una infinita descendente $\in$-cadena (lo cual es la razón por la $\in$-inducción funciona). Y así delimitación del tamaño de la establecida por el rango / profundidad máxima debería funcionar para todos los sets, a la derecha? Eso sería dar una cota superior de a $2\uparrow\uparrow d$ elementos de cualquier conjunto.
4. el conjunto de los números reales
También sabemos que los números reales son innumerables, yo. e. los elementos de $\mathbb{R}$ no se puede poner en 1-a-1 correspondencia con los elementos de la $\mathbb{N}$.
5. el problema
Pero si no puede ser infinito $\in$de las cadenas, lo que significa que la profundidad es limitada, que delimita el número de posibles distintos elementos, que... mantiene las cosas contables? Pero entonces, ¿de dónde son todos aquellos elementos de a $\mathbb{R}$ proviene?
¿Cuál es el truco que hace de esta obra sin estallar (he. e. no infinito $\in$-de la cadena a partir de la cual se podría derivar una tontería), mientras que la prevención sigue siendo el colapso de countability?
