Encuentra$f(x)$ tal que$f(\frac{3}{x})+f(\frac{x}{2})=\frac{9}{x^2}+\frac{x^2}{4}-2$

Question

¿Cómo encontrar$f(x)$ de la relación de abajo? $$f\left(\frac{3}{x}\right)+f\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{9}{x^2}+\frac{x^2}{4}-2$$ I have two question about this .I find $ f (x) = x ^ 2-1 $ que funcionan bien, pero
$\\(1)$ ¿cómo puede estar seguro de que no hay otras soluciones?

$\\(2)$ ¿Cómo se puede encontrar$f(x)$ en general?

Answer 1

Si$f$ es analítico, podemos expandirlo en una Serie Laurant:

ps

Entonces $$f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_nx^n.$

Su ecuación funcional implica que para$f(3/x)+f(x/2)=\sum_{n=-\infty}^\infty 3^na_nx^{-n}+2^{-n}a_nx^n.$:

ps

También puede calcular los coeficientes$n\notin (-2,2,0)$:

$$3^{-n}a_{-n}+2^{-n}a_n=0,$

$a_0,a_{\pm 2}$ $$2a_0=-2 \Rightarrow a_0=-1$ $

que son la misma ecuación, entonces$$3^{-2}a_{-2}+2^{-2}a_2=1/4$. Entonces, incluso sin el resto del$$3^{2}a_{2}+2^{2}a_{-2}=9,$, aún puede formar una familia infinita de soluciones:

ps