proyector espectral del laplaciano en $\mathbb{R}^d$

Question

He estado leyendo algunas notas sobre el teorema espectral para unbounded operador en espacios de Hilbert y mi juguete ejemplo es el Laplaciano en $\mathbb{R}^d$. El autor dice que como una "aplicación" se puede definir el espectral proyector del operador. Para el Laplaciano en $\mathbb{R}^d$ el espectral proyector es $$ \chi_{[0, a]}(-\Delta)$$ where $\chi_A$ denotes the characteristic function of a set $$, subset of the its spectrum, i.e. of $[0,\infty)$.

Entonces, vi la reclamación $$\chi_{[0, a]}(-\Delta): L^2(\mathbb{R}^d)\rightarrow E_a$$ where $E_a$ is the subspace of all $L^2(\mathbb{R}^d)$-functions with Fourier Transform supported in $[-a,a]^d$.

Estoy tratando de averiguar ahora lo $\chi_{[0, a]}(-\Delta) f$ cualquier $L^2$-función de $f$ es pero estoy perdido. ¿Alguien puede explicar a mí que?

Entiendo que, en cierto sentido, el espectral proyector se deshace de todos los autovalores mayores que $a$, pero qué tiene esto que ver con la transformada de Fourier? Cualquier ayuda es bienvenida.

Answer 1

El operador $-\Delta : H^2(\mathbb{R}^d)\subset L^2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^d)$ es un cerrado, densamente definido selfadjoint operador lineal continuo con el espectro de $[0,\infty)$. La proyección espectral asociada con $[0,a]$ está dado por \begin{align} P[0,a]f & = \frac{1}{(2\pi)^{d}}\int_{|\xi|^2 \le a}\left(\int f(x')e^{-ix'\cdot\xi}dx' \right)e^{ix\cdot\xi}d\xi \\ & = \frac{1}{(2\pi)^{d/2}}\int_{|\xi|^2\le a}\hat{f}(\xi)e^{ix\cdot\xi}d\xi. \end{align} Básicamente te estás sumando sobre todos los exponenciales $e^{i\xi\cdot x}$ donde $|\xi|^2 \le a$, lo cual es natural porque $$ -\Delta_x e^{i\xi\cdot x} = |\xi|^2e^{i\xi\cdot x}. $$ En otras palabras, $$ P[0,a]f = (\chi_{|\xi|^2\le un}f^{\wedge}(\xi))^{\vee}. $$ El uso de esta última definición como un multiplicador de Fourier, es bastante fácil de comprobar que $P$ es un espectral medida.

Answer 2

También podría tener un aspecto en el ejemplo en p204 en mi libro

http://www.MAT.univie.AC.at/~Gerald/FTP/Book-schroe/index.html

donde se deriva una fórmula explícita para esta proyección.