Tarea de geometría sobre las desigualdades

Question

Dado el triángulo isósceles ABC (AB=BC) y los puntos D, E (AD=CE), ¿cómo puedo probar que

$BD+BE > AB+BC$?

Esta es una tarea para la escuela media, por lo que el coseno teorema no se puede utilizar (y no estoy seguro de que podría ayudar de todos modos).

Supongo (pero puedo estar equivocado) que el triángulo de la desigualdad debe ser aplicado de alguna manera para solucionarlo, pero no veo cómo.

Answer 1

(Este espacio intencionalmente dejado en blanco).

Answer 2

La prueba es un poco más simple si consideramos que, en lugar de $BD$, su simétrico $BF$ con respecto a la altitud de $ABC$. A continuación, necesitamos demostrar que $BF+BE>2BC$ o $BE-BC>BC-BF$.

Vamos a construir, a continuación, los puntos de $E'$ $F'$ sobre ray $BC$, de tal manera que $BE'=BE$$BF'=BF$. Tenemos entonces $BE-BC=BE'-BC=E'C$$BC-BF=BC-BF'=F'C$, por lo que la desigualdad se ha demostrado que puede ser reescrita como $E'C>F'C$.

Esta desigualdad puede ser demostrado mediante la consideración de los triángulos $FCF'$$ECE'$. Tienen $FC=EC$$\angle FCF'=\angle ECE'$, pero en el otro lado $\angle FF'C>\angle EE'C$, debido a $\angle FF'C>90°$ mientras $\angle EE'C<90°$. Que conlleva $\angle F'FC<\angle E'EC$

De ello se desprende que el paralelo $EG$ $FF'$está dentro de $\angle E'EC$ y se reúne $CE'$$G$. Por lo tanto $E'C>GC=F'C$, tal y como se ha demostrado.

Answer 3

Esto puede no ser lo que usted está buscando, porque tenía que invocar cálculo. Pero la idea básica es elemental suficiente. Lo que usted necesita demostrar que es para un triángulo con una altura fija y base fija (donde se te permite variar la posición de los vértices/apex), un triángulo isósceles tiene el mínimo posible de perímetro. (Se puede ver por qué este problema es equivalente a la suya?)

Si deja que el triángulo tiene una altura de $h$ y una base $b$, entonces se puede dibujar un triángulo rectángulo con los lados perpendiculares uno al otro. Que esto sea una "referencia" triángulo. Ahora cambio el ápice, de modo que la altura ahora se cruza con la base en un punto de $\lambda b$ desde el ángulo derecho (y el resto de la longitud de la base es $(1-\lambda b)$. Tenga en cuenta que cualquier triángulo formado de esta manera por la traducción de la apex tiene un invariante área ($=\frac 12 bh$).

El perímetro de un triángulo se puede calcular usando el teorema de Pitágoras ser $P = \sqrt{h^2 + \lambda^2b^2} + \sqrt{h^2 + (1-\lambda)^2b^2} + b$. Sólo los dos primeros términos son variables y dependen de $\lambda$). Por la configuración de la derivada $\frac{dP}{d\lambda}$ a cero, se puede mostrar (después de un poco de álgebra) en el que $\lambda = \frac 12$ minimiza el perímetro - y esto ocurre cuando el triángulo es isósceles.

Podría ser un no-cálculo manera de hacerlo, pero no puedo pensar en uno en el momento. Voy a pensar en esto (que es después de la medianoche donde estoy, así que tendrá que esperar para el día de mañana).

Answer 4

Esto puede ser conveniente para la escuela media. Se utiliza muy poco de geometría incluso. Dibujar el círculo con el centro $B$ y radio de $BD$, intersección $AB$, $CB$, en $F$, $G$, y dibujar el círculo con un radio de $BA$, pasando a través de $C$ e intersecantes $EB$$H$. Dibuja una línea a través de $F$, $G$ paralelo a $AE$, y unirse a $GH$.

$H$ se encuentra por encima de la línea de $FG$. Para la consideración de $D$ $C$ como péndulos suspendido de $B$, entonces si $D$ en el aumento a $F$ se mueve a través de la proyectada distancia horizontal $DA$, entonces a partir de la $C$ está aumentando más rápidamente, y por lo tanto es menos horizontales, en su movimiento, debe subir más alto que el de $F$ a moverse a través de una proyección de distancia horizontal $CE=DA$.

Por lo tanto $$EH>CG=AF$$(Even the portion of $EH$ between the parallels is greater than $CG$.)

Pero $$EH=EB-CB$$ and $$AF=AB-DB$$Therefore$$EB-CB>AB-DB$$making$$EB+DB>AB+CB$$