dejar $f(\frac{x}{3})+f(\frac{2}{x})=\frac{4}{x^2}+\frac{x^2}{9}-2$ entonces encuentra $f(x)$

Question

Dejar $f(\frac{x}{3})+f(\frac{2}{x})=\frac{4}{x^2}+\frac{x^2}{9}-2$ entonces encuentra $f(x)$

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Mi intento :

$$f(\frac{x}{3})+f(\frac{2}{x})=(\frac{2}{x})^2-1+(\frac{x}{3})^2-1$$

Así que tenemos :

$$f(x)=x^2-1$$

es correcto? ¿Hay otra respuesta?

Answer 1

Una solución particular es $f(x)=x^2-1$ . La solución general del problema homogéneo asociado $$f\left({x\over3}\right)+f\left({2\over x}\right)=0$$ es $$f_{\rm hom}(x)=u\left(\log\bigl(\sqrt{3/2}\> x\bigr)\right)\qquad(x>0)\ ,$$ por lo que $u$ es una función impar arbitraria. Se deduce que la solución general del problema original viene dada por $$f(x)=x^2-1+ u\left(\log\bigl(\sqrt{3/2}\> x\bigr)\right)\qquad(x>0)\ .$$

Answer 2

Supongamos que $f(x)$ puede venir dada por la expansión en serie de potencias $f(x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdots$ . Ahora, para la ecuación $$f\left(\frac{x}{3}\right) + f\left(\frac{2}{x}\right) = \frac{x^{2}}{9} - 2 + \frac{4}{x^{2}}$$ se ve que: \begin{align} \frac{x^{2}}{9} + \frac{4}{x^{2}} - 2 &= 2 a_{0} + a_{1} \, \left(\frac{x}{3} + \frac{2}{x}\right) + a_{2} \left(\frac{x^{2}}{9} + \frac{4}{x^{2}}\right) + \cdots. \end{align} Es fácil determinar que $a_{m+3} = 0$ , para $m \geq 0$ , $a_{1} = 0$ , $a_{2} = 1$ y $a_{0} = -1$ lo que lleva al resultado $$f(x) = x^{2} - 1.$$

Answer 3

Una plausible $f(x)$ es de hecho $f(x)=x^2-1$ . Una prueba de ello es la siguiente.

Supongamos que $f(x)=x^2+h$ Para $x=\sqrt6$ uno tiene $\dfrac 2x=\dfrac x3$ así que $$2f(\frac{\sqrt6}{3})=2(\frac{\sqrt6}{3})^2-2=2((\frac{\sqrt6}{3})^2+h)\Rightarrow h=-1$$