¿Todas las funciones de densidad de probabilidad están descritas por su media y su varianza?

Question

La pregunta puede ser trivial, pero me gustaría que alguien me corrigiera o confirmara.

Sé que la distribución normal (gaussiana) está completamente determinada por su media y su varianza, pero ¿se puede decir lo mismo de cualquier otra distribución? Supongo que la respuesta es no. Podría notar que esto es cierto para muchas distribuciones, pero hay algunas excepciones. Por ejemplo, la media y la varianza no están definidas para la distribución Cauchy.

Answer 1

Claro, es válido para otras distribuciones. Los ejemplos habituales, además de la Normal, son la Exponencial y la Poisson. El único parámetro en ambas distribuciones está definido por la media y la varianza (que están relacionadas en ambos casos). Para la distribución Chi-cuadrado, el parámetro existente, llamado "grados de libertad", es la media, y la varianza es el doble del valor de este parámetro.

Pero esta propiedad no se cumple para todas (o la mayoría) de las distribuciones, como has dicho correctamente. Algunas distribuciones ni siquiera tienen definido un valor esperado finito y/o una varianza. Se puede comprobar fácilmente, por ejemplo, que una distribución simple como $$f(x)=\frac{1}{x^2}\ \ \text{for}\ \ x\in[1,\infty), 0\ \ \text{otherwise},$$ no tiene valor esperado finito, ya que la integral utilizada para calcularla no converge.

En algunos casos, la expresión de la distribución con sus parámetros, que son el valor esperado y la varianza (o desviación estándar), puede requerir algunas reflexiones. Por ejemplo, se puede expresar la distribución Uniforme, más a menudo expresada simplemente indicando los límites $a$ y $b$ , por $$f(x)=\frac{1}{2\sigma \sqrt{3}}\ \text{for}\ \ x\in [\mu-\sigma\sqrt{3},\mu+\sigma\sqrt{3}]\ \text{and}\ 0\ \text{otherwise}.$$ Un caso interesante es este: si $X$ tiene Log-Normal( $\mu$ , $\sigma$ ), los parámetros $\mu$ y $\sigma$ que aparece en la representación habitual no son el valor esperado y la desviación estándar para $X$ . Son el valor esperado y la varianza para $Y=\ln X$ . En este caso, sin embargo, se puede expresar $\mu$ y $\sigma$ en términos de $E(X)$ y $V(X)$ .

Answer 2

Comprueba cualquier familia de distribuciones que esté parametrizada por al menos tres parámetros, por ejemplo

$$f_{a,b,c}(x)=N(a,b,c)\cdot (ax^2+bx+c)$$

para $x\in[0,1]$ y $N(a,b,c)$ algún factor de normalización. Hay varias combinaciones de parámetros $a,b$ y $c$ que generan la misma media y varianza. Se puede utilizar un momentos para fijar más de dos parámetros, sin embargo.

Answer 3

Fijar $m \in \mathbb{R}$ y $\sigma^2>0$ . Para cualquier $p \in (0,1]$ , definir la variable aleatoria $X$ por $$X = \left\{ \begin{array}{ll} m &\mbox{ with prob $ 1-p $} \\ m+ \frac{\sigma}{\sqrt{p}} & \mbox{ with prob $ p/2 $} \\ m-\frac{\sigma}{\sqrt{p}} & \mbox{ with prob $ p/2 $} \end{array} \right.$$ Entonces $X$ tiene media $m$ y la varianza $\sigma^2$ . La distribución de probabilidad para $X$ es diferente para cada $p \in (0,1]$ . Por lo tanto, hay un número infinito de distribuciones de probabilidad que dan lugar a la media $m$ y la varianza $\sigma^2$ .