Considere dos vectores aleatorios $X\equiv(X_1, X_2),Y\equiv(Y_1, Y_2)$ distribuido de la siguiente
1) $X\sim N(\begin{pmatrix} \mu_{X,1}\\ \mu_{X,2}\\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} v_{X,1} & 0\\ 0 & v_{X,2} \end{pmatrix})$
2) $Y\sim N(\begin{pmatrix} \mu_{Y,1}\\ \mu_{Y,2}\\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} v_{Y,1} & 0\\ 0 & v_{Y,2} \end{pmatrix})$
Considere ahora el vector aleatorio $W\equiv(W_1, W_2)$, cuya distribución de probabilidad se obtiene mediante la mezcla de $X,Y$ con ponderaciones iguales $1/2$, es decir, $$ f_W=\frac{1}{2}f_X+ \frac{1}{2}f_Y $$ donde $f$ indica el pdf.
Pregunta: en que condiciones suficientes $W_1\perp W_2$ donde $\perp$ denota la independencia?
MIS INTENTOS: Trabajando en este problema terminé encontrando algunas condiciones necesarias y suficientes para la independencia entre el$W_1$$W_2$. Pero soy sospechoso y yo estoy pidiendo ayuda para encontrar a un error.
Deje $M_{W_1, W_2}$ el valor del momento de generación de la función de $W_1, W_2$. Por la construcción $$ M_{W_1, W_2}(s,t)=\frac{1}{2}\exp(s\mu_{X,1}+t\mu_{X,2}+s^2v_{X,1}+t^2v_{X,2}) $$ $$ +\frac{1}{2}\exp(s\mu_{Y,1}+t\mu_{Y,2}+s^2v_{Y,1}+t^2v_{Y,2}) $$
La proposición: $M_{W_1, W_2}(s,t)=M_{W_1, W_2}(s,0)\times M_{W_1, W_2}(0,t)$ $\forall (s,t)\in \mathbb{R}^2$ si y sólo si $W_1$ independiente de $W_2$
En mi caso $$ M_{W_1, W_2}(s,0)\times M_{W_1, W_2}(0,t)=\frac{1}{4}\exp(s\mu_{X,1}+t\mu_{X,2}+s^2v_{X,1}+t^2v_{X,2}) $$ $$ +\frac{1}{4}\exp(s\mu_{Y,1}+t\mu_{Y,2}+s^2v_{Y,1}+t^2v_{Y,2}) $$ $$ +\frac{1}{4}\exp(s\mu_{X,1}+t\mu_{Y,2}+s^2v_{X,1}+t^2v_{Y,2}) $$ $$ +\frac{1}{4}\exp(s\mu_{Y,1}+t\mu_{X,2}+s^2v_{Y,1}+t^2v_{X,2}) $$ Observe que $$ M_{W_1, W_2}(s,0)\times M_{W_1, W_2}(0,t)=M_{W_1, W_2}(s,t) $$ si y sólo si
$\mu_{X,1}=\mu_{Y,1}$ $v_{X,1}=v_{Y,1}$
o
$\mu_{X,2}=\mu_{Y,2}$ $v_{X,2}=v_{Y,2}$
Por lo tanto, por la proposición anterior, $W_1 \perp W_2$ si y sólo si
$\mu_{X,1}=\mu_{Y,1}$ $v_{X,1}=v_{Y,1}$
o
$\mu_{X,2}=\mu_{Y,2}$ $v_{X,2}=v_{Y,2}$.
