Representación de un grupo de orden de potencia primo

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo, $|G| = p^t$ , $p$ de primera, $t \geq 2$ . Es fácil ver que $\frac{G}{[G,G]}$ tiene un orden de al menos $p^2$ . Ahora, quiero demostrar que toda representación irreducible de un grupo de orden $p^4$ tiene dimensión $1$ o $p$ .

Evidentemente, una representación de este tipo debe tener $\dim \rho < p^2$ ya que $\sum_{\rho \in \operatorname{Irr}(G)} \dim(\rho)^2 = |G|$ y existe al menos la representación trivial de orden $1$ por lo que mi afirmación es la siguiente. Ahora, con el hecho adicional de que $\dim \rho | \ |G|$ he terminado. Sin embargo, me preguntan no usar esto .

Conozco la existencia de representaciones de orden $1$ y $p$ Sin embargo, descartar cualquier otra dimensión no está claro para mí.

Conozco la teoría de grupos básica : digamos, hasta los argumentos relacionados con el teorema de Sylow, y la teoría de la representación hasta lo más básico, que es el método de los pequeños grupos de Wigner.

No me importaría ver pruebas que se salgan de esta prescripción, sin embargo preferiría pruebas más elementales.

Answer 1

Si $G$ es abeliano entonces todas las representaciones irreducibles tienen grado $1$ y el resultado es el siguiente. Por lo tanto, supongamos que $G$ es no abeliana.

Demostramos primero que existe un subgrupo normal abeliano $N$ de $G$ de orden $p^3$ . Para ver esto, dejemos $K$ sea un subgrupo normal de orden $p^2$ Así que $K$ es abeliana. Entonces $G/C_G(K)$ es isomorfo a un subgrupo de ${\rm Aut}(K)$ . Tenemos $K\cong C_{p^2}$ y $|{\rm Aut}(K)| = p(p-1)$ o $K \cong C_p \times C_p$ y $|{\rm Aut}(K)| = p(p^2-1)$ . Así que en cualquier caso $|{\rm Aut}(K)|$ no es divisible por $p^2$ y por lo tanto $|C_G(K)| \ge p^3$ y podemos tomar $N$ sea un subgrupo de $C_G(K)$ de orden $p^3$ .

Ahora el Teorema de Clifford dice que, si $\rho$ es una representación irreducible de $G$ y $N \unlhd G$ entonces la restricción $\rho_N$ de $\rho$ a $N$ es equivalente a la suma de las representaciones $\rho_1 \oplus \cdots \oplus \rho_k$ para algunos $k$ donde cada $\rho_i$ es a su vez la suma de representaciones irreducibles isomorfas $\rho_{i1} \oplus \cdots \oplus \rho_{it}$ para algunos $t$ y donde $\rho_{ij}$ equivale a $\rho_{i'j'}$ si $i=i'$ . Además, las representaciones $\rho_i$ se permutan transitivamente por la acción de conjugación de $G$ .

Aplicamos esto a nuestro subgrupo normal abeliano $N$ de orden $p^3$ y suponer que $\rho$ tiene un grado mayor que $1$ . Desde $N$ es abeliano, el $\rho_{ij}$ todos tienen dimensión $1$ . Si $k=1$ entonces los constituyentes irreducibles de $\rho_N$ son todos equivalentes, por lo que la imagen de $\rho_N$ consiste en matrices escalares. Pero entonces $N/K \le Z(G/K)$ , donde $K$ es el núcleo de la representación. Pero como el cociente por el centro no puede ser cíclico y no trivial, esto implica que $G/K$ es abeliano, y por tanto $\rho$ tiene grado $1$ , al contrario de lo que se suponía. Así que $k>1$ . Desde el $\rho_i$ se permutan transitivamente por $G$ , $k$ debe dividir $|G| = p^4$ y como $\rho$ tiene un grado inferior a $p^2$ Debemos tener $k=p$ .

Pero como $|G/N|=p$ y $\rho$ es irreducible, $\rho_N$ no puede tener más de $p$ constituyentes irreducibles, y por lo tanto $t=1$ y $\rho$ tiene grado $p$ .

Así que hemos demostrado que todas las representaciones irreducibles de $G$ tener un título $1$ o $p$ .

Answer 2

Aquí hay una prueba que no utiliza la teoría de Clifford. Todos los argumentos están tomados del capítulo 2 del libro de Isaacs sobre la teoría de los caracteres, en particular los siguientes hechos (véanse los resultados 2.27--31 y el ejercicio 2.9(b) allí). $\DeclareMathOperator{\Irr}{Irr}$

Hecho 1. Dejemos que $\chi$ sea un carácter de un grupo finito $G$ y $H\leq G$ un subgrupo. Entonces $$ [\chi_H, \chi_H] \leq \lvert G:H \rvert [\chi,\chi] $$ con igualdad si $\chi$ se desvanece en $G\setminus H$ .
( $\chi_H$ es la restricción de $\chi$ a $H$ y $[.,.]$ es el producto interno usul sobre las funciones de clase).

Prueba. Despejado de $$ \lvert H \rvert [\chi_H, \chi_H ] = \sum_{h\in H} \lvert \chi(h) \rvert^2 \leq \sum_{g\in G} \lvert \chi(g) \rvert^2 = \lvert G \rvert [\chi,\chi]. $$

Hecho 1a. Dejemos que $\chi \in \Irr(G)$ y $A\leq G$ un subgrupo abeliano. Entonces $\chi(1) \leq \lvert G : A \rvert$ .

Prueba. Para $A$ abeliana, tenemos $$ [\chi_A, \chi_A] = \sum_{\lambda} [\chi_A, \lambda]^2 \geq \sum_{\lambda} [\chi_A, \lambda] = \chi(1).$$ Ahora usa el dato 1.

Hecho 2. Dejemos que $\chi\in \Irr(G)$ y $Z=Z(G)$ el centro de $G$ . Entonces $\chi_Z = \chi(1) \lambda$ para algún carácter lineal de $Z$ y $\chi(gz)=\chi(g)\lambda(z)$ para todos $g\in G$ , $z\in Z$ .

Prueba. La representación irreducible que permite $\chi$ actúa por escalares.

Hecho 3. Dejemos que $\chi \in \Irr(G)$ sea fiel y suponga que $g$ , $h\in G$ son tales que $1 \neq [g,h] (:=g^{-1}h^{-1}gh) \in Z(G)$ . Entonces $\chi(g)=\chi(h)=0$ .

Prueba. $\chi(g)=\chi(g^h) = \chi(g[g,h]) = \chi(g)\lambda([g,h])$ con $\lambda$ como en el hecho 2. Dado que $\chi$ es fiel, tenemos $\lambda([g,z])\neq 1$ y por lo tanto $\chi(g)=0$ . Desde $[g,h]^{-1} = [h,g]$ También $\chi(h)=0$ .

Respuesta a la pregunta: Supongamos que $G$ es un $p$ -grupo con $\lvert G \rvert \leq p^4$ y $\chi\in \Irr G$ es fiel. (Siempre podemos factorizar primero el núcleo de $\chi$ .) Sea $Z=Z(G)$ y $X/Z = Z(G/Z)$ Así que $X$ es el segundo término de la serie central ascendente. Cuando $Z=G$ entonces $G$ es abeliana, por lo que $\chi(1)=1$ . En caso contrario, para cada $x\in X\setminus Z$ , hay $g\in G$ con $1 \neq [x,g]$ . Pero también $[x,g]\in Z$ y así $\chi(x)=0$ (Hecho 3). Así, $\chi$ se desvanece en $X\setminus Z$ . A partir del hecho 1 aplicado a $Z\leq X$ lo siguiente $$ \chi(1)^2 = [\chi_Z,\chi_Z] = \lvert X : Z\rvert [\chi_X, \chi_X].$$
Cuando $X=G$ esto da como resultado $\chi(1)^2 = \lvert G : Z \rvert$ y hemos terminado.
Por lo demás, vemos al menos que $p$ divide $\chi(1)$ . En este caso, debemos tener $\lvert G \rvert = p^4$ , $\lvert X \rvert = p^2$ . Entonces hay un abeliano $C$ con $X < C < G$ . (Como en la respuesta de Derek Holt, u observar que para cualquier $x\in X\setminus Z$ el centralizador $C=C_G(x)$ debe ser un subgrupo propio de orden $p^3$ porque $[x,G]\subseteq Z$ . Porque $\langle x, Z\rangle \subseteq Z(C)$ , este $C$ debe ser abeliano). Entonces $\chi(1) \leq p$ por el hecho 1a.