Cada subconjunto abierto es afín

Question

Tengo la siguiente pregunta: dado un anillo $R$, ¿qué condiciones deben verificar $R$, tales que cada subconjunto abierto de $\text{Spec}(R)$ afín?

Answer 1

Motivación: considere el anillo de $R=\mathbf{C}[x,y]$ de funciones polinómicas en $\mathbf{C}^2$. La unión de los dos principales abierto subschemes coordinar con los anillos de $R[x^{-1}]$ $R[y^{-1}]$ no es afín por Hartog del teorema: el anillo de funciones en el es $\mathbf{C}[x,y]$. Geométricamente, en el nivel de cierre de los puntos de este abierto subscheme es el perforado de avión $\mathbf{C}^2 \setminus \{(0,0) \}$.

Algo similar ocurre al menos siempre que su anillo de $R$ es Noetherian, normal, y de la dimensión de Krull, al menos,$2$: la fijación de un ideal maximal $m$ $R$ que no es generado por un elemento que tiene un no-afín subconjunto abierto $$\bigcup_{f \in m} \mathrm{Spec}(R[f^{-1}])=\mathrm{Spec}(R) \setminus \{ m \}.$$ This subset is not affine because, by the algebraic version of Hartog's lemma (see e.g. Ravi Vakil's book), the space of sections of $\mathcal{S}_{\mathrm{Spec}(R)}$ over it is just $R$.

Answer 2

Si cada subconjunto abierto es afín por lo tanto cuasi-compacto, entonces $X=\text{Spec}R$ es un noetherian espacio. Así que para evitar los malos ejemplos, supongamos $R$ es noetherian.

Si la condición tiene, elija cualquier punto cerrado $p \in X$, vamos a $U=X-{p}$. para cada quasicoherent módulo de $\mathcal{F}$$X$, tenemos una larga secuencia exacta:

$…\rightarrow H^i_p(X,\mathcal{F})\rightarrow H^i(X,\mathcal{F}) \rightarrow H^i(U,\mathcal{F}) \rightarrow H^{i+1}_p(X,\mathcal{F}) \rightarrow …$

donde $H^i_p(X,\mathcal{F})=H^i_p(R_p,\mathcal{F}_p)$ es el local cohomology en $p$.

Ahora $U,X$ es afín, por lo que el mayor cohomology de ellos se desvanecen, por lo tanto sabemos que $H^i_p(R_p,M)=0, \forall i>1$ para cualquier finitely generadas $R_p$ módulo de $M$. Por las propiedades de local cohomology sabemos que $\text{dim}M \leq 1$ (como el local cohomology no desaparece si $i=\text{dim}M$), ver https://en.wikipedia.org/wiki/Local_cohomology.

En particular, vamos a $\mathcal F=O_X$,$\text{dim}R_p \leq 1$. Por lo tanto, $\text{dim}R \leq 1$.

Por otro lado, si $\text{dim} R \leq 1$, por Grothendieck se desvanecen teorema local cohomology, tenemos $ H^i_p(R_p,M)=0, \forall i>1\geq \text{dim} M$ cualquier $R_p$ módulo de $M$, por encima de larga secuencia exacta y $X$ es afín sabemos que $H^1(U,\mathcal F|_U)=0$.

Pero cada quasicoherent gavilla en $U$ es la restricción de algunos quasicoherent gavilla en $X$ (sólo el pushforward de $U$ y, a continuación, restringir en $U$) por lo tanto, por serre criterio para affineness sabemos $U$ es afín.

En resumen, para un noetherian anillo de $R$, la condición es equivalente a $dim R \leq 1$