¿Cómo puedo entender intuitivamente exponentes complejos?

Question

Podría usted ayudarme a llenar un vacío en mi comprensión de las matemáticas?

Mientras que el exponente es racional, me puede descomponer en algo que siempre funciona con primitivas sé.

Decir, veo a una potencia: $x^{-{a\over b}}$ naturales a,b.

El uso de las reglas básicas:

$$\begin {align} x^{-a} =& {1 \over x^a} \\ x^{1\over b} =& \sqrt[b]{x} \\ ({x^a})^b =& {x^{a b}} \end{align}$$

Siempre se puede descomponer exponentes racionales en $ x^{{1\over b} \cdot -a} = \sqrt[b]{x} ^ {-a} = {1 \over \sqrt[b]{x}^a }$- y entero grado raíces son algo dentro de mi alcance. Entero de la raíz siempre es simplemente un número de multiplicaciones, $\sqrt[a]{x}$ algunos $y \cdot y \cdot y \cdot ... \cdot y$, como muchos de los $y$'s $a$ dice.

Si el exponente es irracional, es algo más complicado, pero siempre se puede tomar $e^{\pi} \approx e^{314159265358979323 \over 100000000000000000}$, y tienen más $\pi$ dígitos, si es necesario, y aunque el número de multiplicaciones se convierte en ridículo, que todavía es algo que puedo entender.

Pero yo estoy completamente a la pérdida de cómo entender cosas como $x^{i\pi \over 4}$. Yo simplemente no puede realizar un número imaginario de las multiplicaciones. Sé cómo llevar a cabo la conversión de números complejos entre la exponencial y $a+ib$ forma, sino que lo realizan como una misteriosa magia vudú receta sin capacidad para envolver mi mente alrededor de cómo ese tipo de exponenciación se supone que funciona. Todavía puedo aplicar las viejas fórmulas de conversión, $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$; $({x^a})^b = {x^{a b}};$ y obtener los resultados correctos, pero yo no entiendo el mecanismo subyacente - como $x^n$ es sólo $n$ multiplicaciones de $x$, ¿cómo se puede entender cómo funciona al $n$ es imaginario?

Answer 1

En la recta real números reales, actúan de forma aditiva por el cambio, y multiplicatively mediante la escala de distancia de cero.

En el plano complejo, los números reales que actúan de forma aditiva cambiando a lo largo del eje real (horizontal), los números imaginarios actúan de forma aditiva cambiando a lo largo del eje imaginario (verticalmente). Tenga en cuenta que las órbitas de estas dos acciones son ortogonales. Líneas horizontales frente vertical.

Los números reales acto multiplicatively por el estiramiento de distancia desde el origen, mientras que los números imaginarios girando $90º$. Tenga en cuenta que las órbitas de estas dos acciones también son ortogonales. Las órbitas de los cambios de escala son líneas radiales; órbitas de rotaciones son los círculos.

Ahora la mayoría de la identidad fundamental de las exponenciales es $a^{x+y} = a^xa^y$. La exponenciación se convierte complementos en multiplicadores. Se vuelve real complementos (es decir horizontal turnos) en verdaderos multiplicadores, es decir, escalas de distancia de cero. Líneas horizontales en líneas radiales.

Y por lo tanto lo que debe exponenciación transformar el ortogonal imaginario turnos, es decir, vertical turnos? Ellos deben transformarse en los multiplicadores que son ortogonales a la radial expansiones. Que son las rotaciones. Las líneas verticales en círculos. Así exponenciación con un imaginario exponente debe ser una rotación.

La base de la exponenciación establece la escala de tamaño de estos stretchings y rotaciones, y exponenciación con base $e$ lo hace natural de las rotaciones en radianes, pero esta imagen funciona con cualquier base de exponenciación, tan largo como $a>1.$

Esta intuición está codificada en la identidad de Euler $e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta$. Un caso especial es $e^{i\pi} = -1$, que apenas dice que la rotación por $180º$ es la misma cosa como la reflexión. Este punto de vista intuitivo para la comprensión de la identidad de Euler es explicado en un popular 3Blue1Brown de vídeo.

Entonces, ¿cómo podemos entender una expresión como $x^{\frac{i\pi}{4}}$? Bien asumiendo $x$ es real con $x>0$, ya que el exponente es imaginario, es una rotación. ¿Cuán grande es la rotación? también depende de la base de $x$, y el exponente. La computación de esta magnitud podría ser pensado como un ejercicio de operaciones de derivados de la multiplicación repetida, como usted en su pregunta, pero hacerlo es de utilidad limitada.

La noción de exponenciación como la multiplicación repetida es, para los números naturales $n,m$ equivalente a la identidad de $a^{m+n}=a^ma^n$. Inmediatamente se da $$a^{n} = a^{\underbrace{1+\dotsb+1}_{n\text{ times}}}=\underbrace{a\cdot\dotsb\cdot a}_{n\text{ times}}.$$ But the identity also makes sense for naturals, integers, rationals, reals, complexes, even matrices and more, whereas the repeated multiplication notion only makes sense for $n$ natural, and is only extended to zero, negatives, and rationals via the above identity (or other similar). Therefore we should view the identity $^{m+n}=a^ma^n$, no sólo como consecuencia de la exponenciación como la multiplicación repetida, pero como una completa y conceptual fundamental de reemplazo. La exponenciación es, por definición y concepción fundamental, la operación que se convierte además en la multiplicación.

Answer 2

Creo que sería muy útil para los que vamos a ir de la idea (al menos en el análisis complejo) que $a^b$ significa multiplicar $a$ $b$ veces por sí mismo. Más bien, la exponenciación se inicia en la función de $\exp : \mathbb C \to \mathbb C$, que probablemente se suele denotar como $\exp(a) = e^a$. Luego (una vez que haya elegido una rama del logaritmo complejo) se puede definir $a^b = \exp(\log(a) \cdot b)$. Con esa definición, todos la multiplicación repetida reglas que usted sabe descender a las identidades $\exp(a + b) = \exp(a)\exp(b)$$\exp(0) = 1$.

En lugar de tratar de prensa complejo exponenciación en el molde de la multiplicación repetida, véase complejo exponenciación -- o más fundamentalmente, la función de $\exp$ -- como su propia cosa, que en casos especiales puede ser interpretado como la multiplicación repetida, gracias a la relación funcional $\exp(a)\exp(b) = \exp(a + b)$.

Answer 3

Supongo que estamos de acuerdo en $ e^{a + i \phi} = e^{a} \cdot e^{i \phi} $. Así que vamos a ver en el último término con el imaginario de los exponentes.

Imaginario de los exponentes de hecho son de una calidad diferente, a continuación, de verdad. Tal vez su mejor opción es darse cuenta de que la justificación de la "magia" de la ecuación de Euler

$$ e^{i \phi} = \cos(\phi) + i \sin(\phi) $$ sólo proviene de la parte formal de continuidad de la función exponencial, de lo real a lo complejo de dominio. De hecho, sólo por tomar la expansión de la serie de la función exponencial, $e^x = \sum_{n=0}^\infty x^n/n!$, se aplican para $x = i \phi$, y la agrupación de partes real e imaginaria puede ver que esto es cierto. Esto le da a usted (por pares y los impares poderes de $\phi$), con real $\phi$, por supuesto:

$$ e^{i \phi} = \sum_{n=0}^\infty (i\phi)^n/n! = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \phi^{2n}/(2n)! + i \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \phi^{2n +1}/(2n+1)! $$ y las dos sumas son solo las expansiones de $\cos \phi$$\sin \phi$,$\phi$.

Así que sí, es poco intuitivo que ahora se quedan en el círculo unidad en el complejo de dominio, que es cíclico en $2 \pi$, etc.

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EDIT: (véase también Paul Sinclair del comentario)

Si usted sabe acerca de los derivados de la $\cos \phi$$\sin \phi$, he aquí un enfoque sin serie de expansiones.

Sabemos que $\cos' \phi = - \sin \phi$, e $\sin' \phi =\cos \phi$. Ahora definir una función $ f(\phi) = \cos(\phi) + i \sin(\phi) $. Entonces usted tiene $ f'(\phi) = - \sin(\phi) + i \cos(\phi) = i f(\phi) $.

Por otro lado, sabemos que para el real constantes $a$ que la ecuación $ f'(\phi) = f(\phi) $ has a unique solution, which is $f(\phi) = c \cdot e^{\phi}$ with some constant $c$ which is determined by some initial condition. Now comes the trick again of the formal continuation of the exponential function from real to complex domain. We allow now that $$ may as well be complex. Then we have that $ f'(\phi) = i f(\phi) $ (as taken from the trig function above) has the unique solution $f(\phi) = c \cdot e^{i \phi}$. Determine the constant $c=1$ by observing $f(0) = c \cdot e^{i 0} = c$ and also $ f(0) = \cos(0) + i \sin(0) = 1 $.

Esto explica, Euler de la ecuación.

Answer 4

$x^n$ es sólo $n$ multiplicaciones de $x$

Esta no es la comprensión de la exponenciación; es simplemente la reducción de la exponenciación en otros términos.

La reducción de nuevos conceptos (en casos especiales) a términos familiares, es común que el primer paso para la comprensión de algo, pero llega un momento en que debe proceder de allí para sintetizar una comprensión sobre el concepto en sí mismo, en lugar de utilizar los términos como una muleta.

No creo que usted puede intuitivamente entender los complejos exponenciación como una generalización de la real exponenciación sin primera síntesis de una comprensión de la exponenciación.

Sin embargo, puede reducir complejo exponenciación a otros términos; la definición habitual es

$$ z^w = \exp(w \log z)$$

así que si quieres trabajar con complejo de exponenciación en otros términos, se puede reducir el problema a la comprensión de la compleja exponencial y logaritmo.

Answer 5

Mi intuición acerca de esto funciona mejor cuando la considero como la manipulación del vector $(1,0)$ sobre el plano complejo mediante la realización de dos acciones distintas:

1. De escala que se basa en la parte real (con $\phi=0$ la identidad, los valores positivos de estiramiento y los valores negativos de contracción).
2. De rotación se basa en que la parte imaginaria (esta es la parte interesante).

Así que ¿por qué no $e^{i \phi}$ realizar una rotación? Bueno, esto viene como una consecuencia natural de la fórmula de Euler.

El más simple no-trivial ejemplo es de $\phi=\pi$, lo que nos da una rotación de $\pi$ radianes, llevando el vector de a $(-1,0)$ (esta es una reafirmación de la identidad de Euler).

Y en el caso general, para cualquier (real) el valor de $\phi$, la identidad de Euler nos da $e^{i \phi} = \cos\phi + i \sin\phi$, que tiene que estar en el círculo unidad, ya que es el vector $(\cos\phi, \sin\phi)$, la magnitud de la cual es:

$\|(\cos\phi, \sin\phi)\| = cos^2\phi + sin^2\phi = 1$

Y esto también nos ayuda a ver que el efecto de la parte imaginaria de la exponente es periódica, por lo que si queremos, podemos limitarnos a considerar sólo el rango de $\phi\in[0, 2\pi)$.

Así que para resumir, mediante la realización de un complejo de exponenciación, que es la combinación de la escala y la rotación, podemos conseguir que nuestro vector en cualquier lugar en el plano complejo, excepto por el origen (que es el límite cuando la parte real tiende a $-\infty$).

Editar: Por cierto, si te gusta infinitos, usted podría encontrar que el concepto de la Esfera de Riemann fresco. La idea aquí es para agregar otro "punto en el infinito" para el plano complejo, y envuelva todo el avión como una esfera, con el punto en el infinito ser exactamente lo contrario de la de origen. Así que cuando se considera complejo exponenciación en la esfera, la escala actúa como cambiar la latitud, mientras que la rotación de actos como el cambio de la longitud. Y escalado por $\pm\infty$ ser bien definido, que escala por $-\infty$ toma el vector para el punto cero, mientras que la escala por $+\infty$ lo lleva al punto en el infinito, en el otro lado de la esfera. Y en estos dos extremos, la rotación no tiene ningún efecto, que es muy similar a cómo a la hora de navegar en la Tierra, cuando usted está en los polos (latitudes $180^\circ N$$180^\circ S$), la longitud pierde sentido.