El campo de las fracciones del campo $F$ es isomorfo a $F$

Question

Que $F$ ser un campo y que $\newcommand{\Fract}{\operatorname{Fract}}$ $\Fract(F)$ ser el campo de las fracciones de $F$; es decir, $\Fract(F)= \{ {a \over b } \mid a \in F , b \in F \setminus \{ 0 \} \}$. Quiero mostrar que estos dos campos son isomorfos. Sugiero este mapa

$$ F \to \Fract(F) \ ; \ a \mapsto {a\over a^{-1}} ,$$

$a \neq 0$ y $0 \mapsto 0$, pero esto no es inyectivo como $a$ $-a$ mapa a la misma imagen. Estaba pensando en el mapa $ \Fract(F) \rightarrow F ;\; a/b\mapsto ab^{-1}$ y esto es claramente inyectivo. También es sobreyectiva $a/1 \mapsto a$. ¿Es el isomorfismo deseada?

Answer 1

Que $F$ ser un campo y $Fract(F)=\{\frac{a}{b} \;|\; a\in F, b\in F, b\not = 0 \} $ modulo la relación de equivalencia $\frac{a}{b}\sim \frac{c}{d}\Longleftrightarrow ad=bc$. Exhibimos un mapa es un isomorfismo de campo entre $F$y $Fract(F)$. Cada campo de la fracción de un dominio integral $D$ viene con un anillo canónico homomorfismo $$\phi: D\rightarrow Fract(D);\; d\mapsto \frac{d}{1}$ $ este mapa es claramente inyectivo.

En el caso de $D$ es un campo $F$, este mapa canónico es un isomorfismo con inversa $$Fract(F)\rightarrow F;\; {a\over b} \mapsto ab^{-1}$ $