$\# \{\text{primes}\ 4n+3 \le x\}$ en términos de $\text{Li}(x)$ y las raíces de Dirichlet $L$-funciones

Question

En un artículo sobre el Primer Número de Carreras, he encontrado lo siguiente (página 14 y 19):

Esta fórmula, mientras que cree que es correcto, aún no ha sido demostrado. $$ \frac{\int\limits_2^x{\frac{dt}{\ln t}} - \# \{\text{primos}\le x\} } {\sqrt x/\ln x} \approx 1 + 2\sum_{\gamma} \ \ \frac{\sin(\gamma\ln x)}{\gamma}, \etiqueta{3} $$ con $\gamma$ ser parte imaginaria de las raíces de la $\zeta$ función.

$\dots$

Por ejemplo, si la generalización de la Hipótesis de Riemann es verdad para la función de $L(s)$ acaba de definir, entonces obtenemos la fórmula $$ \frac{\#\{\text{primos}\ 4n+3 \le x\} - \#\{\text{primos}\ 4n+1 \le x\}} {\sqrt x/\ln x} \approx 1 + 2\sum_{\gamma^\prime} \frac{\sin(\gamma^\prime\ln x)}{\gamma^\prime}, \etiqueta{4'} $$ con $\gamma^\prime$ ser parte imaginaria de las raíces de la Dirichlet $L$-la función asociada a la carrera entre los números primos de la forma $4n+3$ y los primos de la forma $4n+1$, que es $$ L(s) = \frac1{1^s} - \frac1{3^s} + \frac1{5^s} - \frac1{7^s} + \dots. $$

1. Desde $$ \begin{eqnarray} \# \{\text{primes}\le x\} &=&\# \{\text{primes}\ 4n+3 \le x\} + \#\{\text{primes}\ 4n+1\le x\}\\ &\approx& \text{Li}(x)- \left(\sqrt x/\ln x\right) \left(1 + 2\sum_{\gamma} \ \ \frac{\sin(\gamma\ln x)}{\gamma} \right) \end{eqnarray} $$ y suponiendo que el (Generalizada) Hipótesis de Riemann para ser verdad, es válida para calcular $$ \begin{eqnarray} \# \{\text{primes}\ 4n+3 \le x\} &\approx& \frac{\text{Li}(x)}{2} &-& \frac{\left(\sqrt x/\ln x\right)}{2} \left(1 + 2\sum_{\gamma} \ \ \frac{\sin(\gamma\ln x)}{\gamma} \right)\\ &&&+& \frac{\left(\sqrt x/\ln x\right)}{2} \left( 1 + 2\sum_{\gamma^\prime} \frac{\sin(\gamma^\prime\ln x)}{\gamma^\prime} \right)\\ &\approx& \frac{\text{Li}(x)}{2} &+& \left(\sqrt x/\ln x\right) \left(\sum_{\gamma^\prime} \frac{\sin(\gamma^\prime\ln x)}{\gamma^\prime} -\sum_{\gamma} \ \ \frac{\sin(\gamma\ln x)}{\gamma} \right), \end{eqnarray} $$ o ¿los términos de error de echar a perder el cálculo?

2. Hay otra manera de obtener la $\# \{\text{primes}\ 4n+3 \le x\}$ usando un tipo diferente de Dirichlet $L$-a la función? ¿A qué se parece? Es posible tratar el caso general de los $\# \{\text{primes}\ kn+m \le x\}$ de la misma manera?

EDICIÓN De la página de la wiki sobre Generalizado de la hipótesis de Riemann (GRH), me sale:

Dirichlet del teorema establece que si a y d son coprime números naturales, entonces la progresión aritmética a, a+d, a+2d, a+3d, ... contiene infinitos números primos. Vamos a π(x,a,d) indicar el número de números primos en esta progresión, que son menos que o igual a x. Si la generalización de la hipótesis de Riemann es cierta, entonces para cada coprime a y d y para cada ε > 0 $$ \pi(x,a,d) = \frac{1}{\varphi(d)} \int_2^x \frac{1}{\ln t}\,dt + O(x^{1/2+\epsilon})\quad\mbox{ como } \ x\to\infty $$ donde φ(d) es de Euler totient función y O es la Grande O la notación. Este es un refuerzo considerable del teorema de los números primos.

Así que mi ejemplo se vería $$ \pi(x,3,4) = \frac{1}{\varphi(4)}\text{Li}(x) + O(x^{1/2+\epsilon}), $$ (algo que ya hacen/respuesta aquí: Distribución de los Subconjuntos de los números Primos). De modo que la parte con las raíces parece ser enterrados en $O(x^{1/2+\epsilon})$, ya que el $\varphi(4)=2$.

Gracias...

Answer 1

(1) es un correcto cálculo. En general, para el tratamiento de los números primos de la forma $kn+m$, tendría una combinación lineal de $\phi(k)$ sumas de dinero, de cada uno de los cuales ejecuta a través de los ceros de una forma diferente de Dirichlet $L$-función (de las cuales la de Riemann $\zeta$ función es un caso especial). Y sí, suponiendo que la generalización de la hipótesis de Riemann, todos los términos, incluyendo aquellas sumas más de ceros puede ser estimado en el $O(x^{1/2+\epsilon})$ plazo.

Para obtener más información, busque "el primer número teorema de progresiones aritméticas", y, en particular, la "fórmula explícita". Sé que aparece en Montgomery y Vaughan libro, por ejemplo.

Answer 2

Aquí es cómo conseguí con una fórmula explícita para el número de números primos de la forma $4n+3$ por debajo de $x$, $\pi^*(x;4,3)$, expresado en términos de (sumas) de las sumas de Riemann, $R$ funciones sobre las raíces de Riemann $\zeta$ resp. Dirichlet $\beta$ función de:

\begin{align*} \Pi^*(x;4,3) &= \pi^*(x;4,3) + \tfrac12 \sum_{\substack{b\pmod 4 \\ b^2\equiv 3\pmod 4}} \pi^*(x^{1/2};4,b) + \tfrac13 \sum_{\substack{c\pmod q \\ c^3\equiv 3\pmod 4}} \pi^*(x^{1/3};4,c) + \cdots \\ \end{align*} Entonces yo trate de completar las cosas mediante la adición de varias

\begin{align*} \Pi^*(x;4,3) &= \tfrac11\pi^*(x;4,3) + \tfrac13 \pi^*(x^{1/3};4,3) + \cdots \\ \tfrac12\Pi^*(x^{1/2};4,3) &= \tfrac12\pi^*(x^{1/2};4,3) + \tfrac16 \pi^*(x^{1/6};4,3) + \cdots \\ \tfrac14\Pi^*(x^{1/4};4,3) &= \tfrac14\pi^*(x^{1/4};4,3) + \tfrac1{12} \pi^*(x^{1/12};4,3) + \cdots \\ &\vdots&\\ \hline\\ \tag{1}\sum_{k=0}^\infty 2^{-k}\Pi^*(x^{2^{-k}};4,3)&=\sum_{m=1}^\infty \tfrac1m \pi^*(x^{1/m};4,3) \end{align*} El uso de Möbuis inversión conseguiré

\begin{align*} \pi^*(x;4,3)&=\sum_{m=1}^\infty \tfrac{\mu(m)}m\sum_{k=0}^\infty 2^{-k}\Pi^*(x^{2^{-k}/m};4,3)\\ \tag{2}&=\sum_{k=0}^\infty 2^{-k}\sum_{m=0}^\infty \tfrac{\mu(m)}m\Pi^*(x^{2^{-k}/m};4,3) \end{align*} Ahora puedo usar

\begin{align*} \Pi^*(x^{2^{-k}};4,3)&=\frac1{\phi(4)} \sum_{\chi\pmod 4} \overline{\chi(3)}\Pi^*(x^{2^{-k}},\chi)\\ \tag{3}&=\frac12 \left( \Pi^*(x^{2^{-k}},\chi_1)- \Pi^*(x^{2^{-k}},\chi_2) \right) \end{align*} y, a continuación,

\begin{align*} \tag{%#%#%}\Pi^*(x^{2^{-k}},\chi_k)&=\operatorname{li}(x^{1/2^{k}})-\sum_{\rho_\zeta} \operatorname{li}(x^{\rho_\zeta/2^k})\text{ if %#%#%}\\ \tag{%#%#%}&=\phantom{\operatorname{li}(x^{1/2^{k}})}-\sum_{\rho_\beta} \operatorname{li}(x^{\rho_\beta/2^k})\text{ if %#%#%}\\ \end{align*} lo que da

\begin{align*} \tag{3'}\Pi^*(x^{2^{-k}};4,3)&=\frac12 \left( \operatorname{li}(x^{1/2^{k}})-\sum_{\rho_\zeta} \operatorname{li}(x^{\rho_\zeta/2^k}) +\sum_{\rho_\beta} \operatorname{li}(x^{\rho_\beta/2^k}) \right) \end{align*} así que, finalmente,

\begin{align*} \pi^*(x;4,3)&=\sum_{k=0}^\infty 2^{-k}\sum_{m=0}^\infty \tfrac{\mu(m)}m\frac12 \left( \operatorname{li}(x^{1/2^{k}})-\sum_{\rho_\zeta} \operatorname{li}(x^{\rho_\zeta/2^k}) +\sum_{\rho_\beta} \operatorname{li}(x^{\rho_\beta/2^k}) \right)\\ \tag{5}&=\sum_{k=0}^\infty 2^{-k-1}\left( \operatorname{R}(x^{1/2^{k}})-\sum_{\rho_\zeta} \operatorname{R}(x^{\rho_\zeta/2^k}) +\sum_{\rho_\beta} \operatorname{R}(x^{\rho_\beta/2^k}) \right) \end{align*}

Yo estaría muy, muy contento de leer tu opinión...

Answer 3

Aquí hay una tabla con las 331 primera ceros para la evaluación numérica (advertencia: los valores que faltan...)

6.0209489046975966549025115255,
10.243770304166554552137757473,
12.988098012312422507453109785,
16.342607104587222194976861486,
18.291993196123534838526004279,
21.450611343983460497200948384,
23.278376520459531531819558882,
25.728756425088727567265088675,
28.359634343025327785651607948,
29.656384014593152721809906963,
32.592186527117155130815194045,
34.199957509213146913044795479,
36.142880458303137830565814472,
38.511923141718691293776504680,
40.322674066690544180344394367,
41.807084620004562337157521896,
44.617891058662303393482045721,
45.599584396791566745937702295,
47.741562280939141250781347344,
49.723129323782586066569570883,
51.686093452870528439533811111,
52.768820767804729265035076579,
55.267543584699224846718259652,
56.934374055202296886801711960,
58.116707110673917977262367546,
60.421713949007834673018618295,
62.008632285767769451930615509,
63.714641118785433123518297959,
64.976170573095999348605924739,
67.636920863546068398054991150,
68.365884503834422961233738148,
70.185879908802112061371282120,
72.155484974381881214691542592,
73.767635521485893336154626169,
75.143121647433111405798000424,
76.696303203430199064566659967,
78.809998314320913003691783203,
80.210131238366638915148032664,
81.213951626883151157734833354,
83.666656014470571651283310367,
84.731740363781628608217577601,
86.577660168390264410210548722,
87.629718119587899689039432381,
89.801131616695811325969388292,
91.349703814697573473931013977,
92.237499910454258046004175773,
94.166619585960021307053060933,
96.136011161780558185274479276,
96.961741579417483577607743327,
98.755300415754527668603973554,
100.13488670306768529019231904,
102.14138082688961382675997843,
103.28807538167900270159333920,
104.33326984426745450495085217,
106.69445890889584172960040021,
107.69020697514670020812946699,
110.49960817642909478048490816,
112.36781674401217995716661013,
113.81479554899267353956309211,
116.19320465846121898963013972,
118.53755437884686165780011347,
119.45298987620909035824186237,
120.73129361866037693368487739,
122.44746137906871191967947661,
123.79454876031950609879380618,
125.76851955991559376249639951,
126.29877602494140909790014712,
127.95940768306329938305588877,
129.88562335864546932623503678,
131.09357875408399607523436803,
132.14357660098782788050132120,
133.74418146397481319142376707,
135.49083725255700224755404510,
136.54731226728255838933127345,
138.45729450969625766509038076,
138.75017770461144012954768949,
141.25363250975178412806669861,
142.39441752219778229834700120,
143.32906274161773201159359077,
144.97816627771136218178674826,
146.52200528490833848995838351,
147.93453081218091703481025120,
150.29635900154312145801640888,
151.96198767048369072791846343,
153.69961262351526052550597524,
154.57549142871991733629296692,
155.65024866324343586811534637,
157.74830530790292831907457397,
158.70502112552935112493067703,
160.23648409677104233377768408,
161.40714697615670734528135116,
162.56604668959903962627418377,
164.73116461657689691990755216,
165.40141928586315409461482322,
166.75387916910842711467929232,
168.04442078170974462074284599,
170.05113118752669021484810142,
170.73476699457880545645576325,
172.28048177162133811838196765,
173.44297883613501571697079678,
174.91508808540057340441548453,
176.59730214191806744299558376,
177.70121257457377580802426815,
178.36237490898565560941206095,
180.56931038528553139779449794,
181.61491373170438998090812364,
182.91676832896896722720668364,
184.11503237536838876567103733,
185.37399660770047491721481058,
187.06876059069440954145591925,
188.27137433227075068590376587,
189.49173149212854251358185449,
190.37118761075577274333641876,
192.36113787605631840741605201,
193.79707292614668099455436082,
194.23188322936089922195285019,
196.13200565468428482335296831,
197.11344622157640853776338155,
198.80647573614690671134916226,
200.16203942869863020720223578,
200.90161787076887940260335396,
202.26057799593173083976534604,
204.22107078015820641522076416,
204.99200345509828370916637889,
206.41191104761124331431101684,
207.31737748188785830627423332,
209.22775249264801305239596646,
210.10318551739854017072638068,
211.83341182042389919211672672,
212.53760753721342419767373639,
213.76184210127810212713458895,
215.79381838201559960577042888,
216.70341526620296547634366018,
217.58193141803801709611175843,
220.40562171063697515795993634,
221.92854850725447804914936995,
223.00310318062916135528239779,
224.12223848794683215004758755,
225.29326147520535806546186025,
226.98818848837537471961421291,
228.40550629743637922559802583,
228.95902363267523675101910098,
230.33013057780480230594069311,
232.10048174706901195203683135,
233.04806374529880402510570392,
234.35178770183278559126691643,
235.83621877114146878871598106,
236.24156049447563754765718358,
238.53711304998262144198336571,
239.33848813561967049191160837,
240.62671116939306732194741836,
241.47792092821119586131445270,
243.22893117973858440259094571,
244.51316858358815891067982334,
245.56488138011395915721891054,
246.72405853472513520671442287,
247.99511858273842666345737680,
249.18450896488545637926359681,
251.08656315045619512213120503,
251.63691583961430554302515677,
252.62344577966837570410866022,
254.31443735012273900901544828,
255.83791804974205189835948383,
256.50458494734840573390589089,
258.16526285035121855236577743,
258.83447052352496550977190962,
260.43047213492557515755933298,
261.91361498764980573464503310,
262.88361734246063150509166818,
264.05425788812825390396163665,
264.93285914122008364534327761,
267.00065119971523220684196260,
267.80144698460232962989982417,
268.78330606204792631747966001,
270.27808716748190417041357469,
271.25498369444883796265227849,
272.75587860169341823184636255,
274.17145831251909085018642460,
275.03310123658021403265232025,
275.85894601108307686333373631,
277.77232263831925417841397013,
278.80368388728653858809887697,
280.15714487097460512335476030,
280.79310694940911465165921265,
282.37964046356129969375983170,
283.60454343388307793996827161,
284.92559582341671675890997136,
286.08023330771695304124563007,
287.14942464824185193072788536,
287.97847626332132927976356976,
290.25214699517454327999080838,
290.67729632326071525164544826,
291.83202458884475548513071512,
293.20243417747287711021312313,
294.32726845145976737666041017,
295.80347082471925776988952183,
296.90066613885493288162667737,
298.07887411489226009930190937,
298.87032030707756002676910778,
300.43445985053453461820420384,
301.91984252859711814323532054,
302.91793758311719513681600129,
303.66111804033389116484131301,
305.06520886541900440815050046,
306.79513396371212102425959963,
307.28608493671484668789621993,
309.12248303042252096412050493,
309.73990761397483015859790586,
310.82367496094542226066492277,
312.55636686756100688064634699,
313.87794245506793787784240517,
314.43316516928890292103837772,
315.73498612492696188725190719,
317.01231804223259726515461799,
318.45621725635502024358202211,
319.57969129703539985620862417,
320.40630364449298983627652971,
322.00196780449032992290146609,
322.53911742379191664486892560,
324.51844467372429468247621743,
325.47478404410633875373192686,
326.45854121986539504473910264,
327.25993176651157705164654818,
329.20009793757918038019912741,
330.03604959034586362558252897,
331.21140289958185800530565896,
332.57294652823343974554556525,
333.18150832869444693922851618,
334.76869989467941751441968305,
336.15271755443328443350210094,
337.13966305477713627524956702,
338.22628268603666690396333911,
339.01125261519977890816451524,
340.84195235235292162066710614,
342.02615318336469741374106741,
342.68585823735877067928271577,
344.0836661565686862627004762,
345.2097753413459573044110626,
346.2627604671016941476647978,
347.9246481143632697374566129,
348.9817983885468120149499228,
349.4343424566002814630006007,
350.9772131093086171005228543,
352.3917682431248441639303136,
353.6933333256829546124685137,
354.3017377414641314355505898,
355.7444402625970306431358347,
356.6276472137673985753141096,
358.2882750929424366211009481,
359.0964611926055643566214138,
360.7110410245589243479893582,
361.1974930362084806074524790,
362.2769688931667497705396854,
364.4197244318352155945317356,
364.8037360921119966497987857,
366.0496895182690012543463580,
367.1255349350747462262053663,
368.4338148898077761672916077,
369.5016933318964405363710183,
371.0690160905648737699591025,
371.7700959151502466275535791,
372.8848608865911226393246899,
373.9348689154616523799502265,
375.5468747270075926960247017,
376.6839009379746539367477905,
377.5592232741848044307652399,
378.3869290457616630146695094,
380.0570731823139939966249588,
381.0486701230352553532850229,
382.2397664190157338254422377,
383.4850923542027975470084695,
384.3728456816805919723012968,
385.2152276718100110520672671,
387.1492092876308094595627758,
388.0821424777153497850755292,
388.7777179618526297788291030,
390.1691126288973758248577388,
391.0819257199607056364820762,
392.8517629133617494151722895,
393.4434077110107140920915261,
394.8199970917935633992004384,
395.8046096034178296276558608,
396.7344554225485063080197069,
398.2504159767379466957124019,
399.5655109221428371501170699,
400.6928757687115794343838349,
400.8264309422547318135722239,
402.8183184588996972949913858,
403.9074050434836080884771320,
404.9455862206118613759957847,
406.1612477978882182837592234,
407.1450155618871805968322187,
408.0395266729539842871170633,
409.5882131208357647653279288,
410.8716628634833972562447402,
411.6605714508530686255969330,
412.7311469575827245352595916,
413.6692853952956581370774306,
415.4292958729206053433345755,
416.3705912266159986762147974,
417.1292702136133141970538904,
418.5574767268274943568745235,
419.4874594223070529595380503,
420.5289538979833121243014068,
422.5103730295799395812912385,
422.6872546051342268536572665,
424.0668954927375279116779846,
424.8233888200049631864585039,
426.7324170086494599710725394,
427.3840178113418017106211713,
428.6981079540674684462150564,
429.5893859724852216637696316,
430.6175578358959205969367714,
432.0607725159701751635973864,
433.0374431195775491061980546,
434.4393523989532303725779273,
435.3481541603433508857855094,
435.9041636774496664998333698,
437.5822193991931840771232678,
439.1581082551973744286998591,
439.5375694451764723240134399,
440.6772278998545002559418857,
442.1697399171824047073380865,
442.7770442912218304593990887,
444.4382905078887461488730008,
445.4637391684133745717113130,
446.4483316219370803911040887,
447.3020089048109206937709813,
448.5069310886578395843178830,
450.0566203069175123775802095,
451.0707759054247023168568904

Answer 4

ACTUALIZACIÓN: El punto de esta respuesta es para visualizar su fórmula exacta para la primer función de conteo restringido a los números primos $\equiv 3 \bmod 4$. Las sumas más de $\rho_\zeta$ $\rho_\beta$ son mayores de todos los ceros de la de Riemann-$\zeta$ y de Dirichlet-$\beta$ funciones, respectivamente, ordenados por el aumento absoluto de la parte imaginaria :
$$\pi_{Dr}(x):=\sum_{k=0}^\infty\;2^{k-1}\left( \operatorname{R}\left(x^{1/2^{k}}\right)-\sum_{\rho_\zeta} \operatorname{R}\left(x^{\rho_\zeta/2^k}\right) +\sum_{\rho_\beta} \operatorname{R}\left(x^{\rho_\beta/2^k}\right) \right)-1$$

(I subtracted $1$ at the end as found necessary by this other derivation using your nice telescoping method)

The plot of the approximation obtained by truncating the infinite series to their first terms (the parameters used are indicated at the end) is compared to the exact (darker) formula for $\pi_{4,3}(x)$ with $x\in (4,150)$ (the picture may be zoomed) :

Such a picture doesn't constitute a proof but merits my sincere < Felicitations !>

---

To let you play with your function I included my scripts. They require two precomputed tables of zeros of zeta and beta. I used Andrew Odlyzko's fine table of zeta zeros and the beta zeros came from my older answer here. These tables should be formated as $[v_1, v_2,\cdots,v_n]$ en una línea, o $[v_1\,,\backslash$
$\;v_2\,,\backslash$
$\cdots,\backslash$
$\;v_n\,]$

El $\operatorname{Ei}$ (integral exponencial) de la función utiliza fracciones continuas para grandes piezas imaginarias de $z$ y el construido en función de la otra parte (la última, debería bastar una vez corregido en pari). El parcial de Riemann de la función $\operatorname{R}$ usa $\,\operatorname{lx}=\log x$ como parámetro en lugar de $x$ y estamos comparando los clásicos $\pi_{4,3}(x)$ función a su función exacta $\pi_{Dr}(x)$. Más exactamente a la suma parcial obtenida mediante el uso de sólo el $n$ primeros términos de $\operatorname{R}()$, $r$ primer raíces complejas de $\zeta$ $\beta$ e las $p$ primeras potencias de $2$ (suma de $k$) de su fórmula exacta.

// pari/gp scripts //
\r zeta.gp
tz=%;
\r beta.gp
tb=%;

;Ei(z)=-eint1(-z)+Pi*I*sign(imag(z))  ;correct formula provisory replaced by :
Ei(z)=if(abs(imag(z))<20,Pi*I*sign(imag(z))-incgam(0,-z),local(n=5+round(1000/(abs(imag(z))+1e-8)),r=-z);forstep(k=n,1,-1,r=-z+k/(1+k/r));-exp(z)/r)+Pi*I*sign(imag(z))
R(n,lx)=sum(k=1,n,moebius(k)*Ei(lx/k)/k)
pi43(x)=local(c=0);forprime(p=3,x,if(p%4==3,c++));c
piDr(n,r,p,x)=local(lx=log(x));sum(k=0,p,2^(-k-1)*(R(n,1/2^k*lx)+2*sum(i=1,r,-R(n,(1/2+tz[i]*I)/2^k*lx)+R(n,(1/2+tb[i]*I)/2^k*lx))))-1

// 'short' session using these functions //
> pi43(100)
= 13
> piDr(20,100,6,100)
= 13.640816983 + 0.6262904416*I
> ploth(x=4,150,[real(pi43(x)),real(piDr(20,330,10,x))],,146)